sexta-feira, 24 de abril de 2009

O Carpete de Sierpinski

O título pode parecer estranho mas este é um post sobre Matemática. Um tal de Sierpinski não tinha nada pra fazer [*] e inventou uma forma geométrica muito interessante e eu não tinha nada para fazer e fiz esse post. O que vou fazer neste pequeno artigo é provar que a área dela é 0. Além disso, reservo uma surpresa bem gostosa para o final do post. Melhor do que ficar lendo, é você ver logo como isso funciona!



Primeiro, pegamos um quadrado, dividimos em 9 partes iguais (como se fizéssemos um "grid" 3x3) e subtraímos dele o quadrado que foi formado no meio. Ficaria assim:


Até aí, nada de mais. Mas, nos 8 quadrados menores restantes (de nosso "grid" 3x3) repetimos o mesmo processo, isto é, dividimos em 9 partes e tiramos o do meio. Vamos lá, use a imaginação!

Agora, sim, está começando a ficar interessante. Repetimos o processo mais uma vez, fica assim:


Bem, agora extrapolamos isso. Imagine que podemos repetir este processo infinitas vezes. Como meu tempo é finito, não pude fazer isso para botar aqui, mas usando softwares de matemática, dá para fazer um programa que gera esse carpete. A seguinte imagem retirada do Wikipédia foi feita desta forma.


Clique na imagem para ampliar


Entendeu porque a chamam de carpete? Bem, em vez entrar em questões sobre a natureza matemática desta forma (um fractal), vamos fazer algo mais legal, provar que a área desse carpete é 0. Isso mesmo!


Demonstração

Uma boa estratégia para mostrar que a área deste carpete é 0, é somar todas as áreas dos quadradinhos retirados (em branco) e subtrair da área original, verificando que o resultado é 0. Isto é, basta mostrarmos que a soma de todas as áreas dos quadrados retirados é igual à área do quadrado inicial.

"Mas são infinitas áreas, você não pode somar infinitas vezes!". Posso sim, se você já aprendeu sobre séries na faculdade, sabe muito bem disso. Se não, lembra de algo chamado Progressão Geométrica (vulgo P.G.)? Pois bem, é isso que vamos utilizar aqui (apesar de podermos utilizar séries).

Agora que já escolhemos nossa estratégia, o problema consiste em acharmos um padrão que nos revele alguma coisa. Este padrão surgirá naturalmente depois que fizermos alguns cálculos. Que tal começar do começo?


Suponhamos que a medida do lado do quadrado inicial seja a. Então, olhando para a segunda figura, teremos que a área do quadradinho do meio (branco) será .


Agora olhe para a segunda figura. Temos que somar as áreas dos 8 quadradinhos menores que fizemos, isto é, .


Prosseguimos agora para a terceira figura. Note que a área dos outros 64 quadradinhos formados será .


Vamos somar essas áreas que obtemos até agora.




Perceberam o padrão? Esta é a soma de uma P.G. infinita cujo primeiro termo é e a razão é . Feito isso, basta lembrarmos a fórmula da soma de uma P.G. Como a razão é menor que 1, podemos usá-la. Usaremos a seguinte fórmula.




Onde é o primeiro termo e é a razão.


Confira a dedução desta fórmula no final do post. Basta, então, substituir nossos valores, teremos o seguinte:




Para resolver isso, basta multiplicar por 9 em cima e em baixo. Portanto, você verá facilmente que a área dos quadrados retirados é , então a área do carpete é , como queríamos demonstrar.



Surpresa gostosa que eu reservei pro final


Ok, você pode dizer, muito legal, mas isso tudo não serve pra nada, é uma completa perda de tempo. Eu digo, você está muito enganado!

Fala sério, você já viu biscoitos mais legais que esses? Quer aprender a fazer? Clique aqui. Como meus dotes culinários não são muito bons, não vou me arriscar.


Até.



Dedução da fórmula da soma da P.G. infinita



Subtraindo a segunda da primeira, temos:







Nota:

[*] Sobre o "não tinha nada para fazer" veja a discussão bem construtiva que isto gerou nos comentários. :D




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