terça-feira, 5 de janeiro de 2010

Questão 3 da prova de Matemática da segunda fase da Fuvest 2010

Este post surgiu do espanto causado em nós (eu e Gabriel) ao vermos uma solução, de um problema da segunda fase da Fuvest, extremamente complicada (proposta pelo Cursinho Etapa) quando, na verdade, existem soluções muito mais criativas e simples.

O problema é o seguinte:

Seja n um número inteiro,

a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio.

b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio.

c) Considere, agora, um número natural k tal que . Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k.

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A solução do Etapa se encontra neste link. Primeiramente, vou exibir a solução que eu e o Gabriel pensamos (créditos maiores ao segundo) e depois comento.

a) Se fixamos o número de bolas que Luís tem, o número de bolas que Antônio tem fica completamente determinado. Isto é, se Luís pega i bolas, Antônio fica com as n-i que sobraram. Portanto, basta variar o número i de bolas de Luís e esgotamos todas as possibilidades. Isto é, temos no total n+1 possibilidades (temos de contar o caso i=0 também!).

b) Aqui, o raciocínio é análogo ao item a). Por exemplo, podemos fixar o número i de bolas de Pedro. Pelo item a), Luís e Antônio têm n-i+1 formas de distribuírem as bolas entre si. Então, variando i de 0 até n, basta somarmos



e obtemos o número total de possibilidades.

c) O número total de possibilidades de Pedro receber num número maior ou igual a k bolas é dado por



(o raciocínio aqui é análogo ao feito no item b), com i variando de k até n). Portanto, a probabilidade p disto ocorrer é dada por




Comentários:

Existem outras formas criativas de resolver este problema. A solução do Etapa somente torna maior a minha convicção de que cursinhos pré-vestibular (em sua maioria) não ensinam Matemática, ensinam apenas a decorar fórmulas.

Até.




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