Agora, sim, vamos provar o Teorema. Não esqueça de olhar as notas de rodapé caso surja alguma dúvida.
Teorema:
Todo polinômio com coeficientes complexos possui uma raiz complexa.
Demonstração:
Se você não leu a Parte 1, clique aqui antes de ler a demonstração.
Tome
. Se 
denota o o polinômio 
com os coeficientes conjugados (conjugação complexa), note que o polinômio 
pertence à 
(pois 
). Além disso, tem raiz em 
se, e somente se, 
tem raiz em [1]. Seja 
um corpo que contém todas as raízes de. Isto é,
Note que o grau de é 
. Podemos escrever como 
, com 
ímpar. Façamos indução em 
. Para 
, temos que o grau de é , e portanto, tem raiz real (pois é ímpar). Agora, fixe 
e considere o conjunto
Veja que
tem exatamente 
elementos [2]. Defina 
. Agora, considere o polinômio
Note que o grau de
é 
. Como os coeficientes de são expressões simétricas em 
, também o são em 
. Desta forma, 
[3]. Sabendo isso, note que a hipótese de indução se aplica em e, portanto, tem raiz em . Digamos que esta raiz seja
com
. Como existem infinitas escolhas para 
e finitas possibilidades para 
e 
, então existe 
tal que
[4]
Através de combinações lineares de
e 
, podemos concluir que 
e 
. As raízes do polinômio quadrático
são justamente 
e 
. Portanto, e são números complexos [5]. 
Notas:
[1] De fato, suponha que
tem uma raiz 
. Então, devemos ter 
ou 
. Se , acabou. Se não, . Conjugando os dois lados, temos 
. Logo, também tem raiz complexa.
[2] Fixe
. Então, varia de 
a e obtemos elementos diferentes. Fixe 
, então varia de 
a e obtemos 
elementos. Repetindo o processo até 
, teremos no total 
elementos em .
[3] Esta parte pode ser confusa para quem não está acostumado com polinômios simétricos, mas vou tentar esclarecer. Os coeficientes de serão expressões simétricas elementares em . Como cada é simétrico em 
, então a expressão inteira será simétrica em . Se você ainda tem dúvida disso, pegue um papel e escreva um caso pequeno (por exemplo,
) e talvez fique mais claro. O fato de pertencer a vem do Corolário do "Requisito 4" da Parte 1.
[4] Existem, no total, pares ordenados de índices 
para formar os . Posso representar a raiz complexa de como um par ordenado do tipo , em nossa demonstração, o par que apareceu foi 
. Como posso escolher infinitos números reais (distintos) para construir e o polinômio , em alguma dessas escolhas vou repetir algum par que já havia aparecido como raiz de algum . É nada mais que o Princípio da Casa dos Pombos.
[5] Este fato segue diretamente do que mostramos no "Requisito 2" da Parte 1.
Teorema:
Todo polinômio com coeficientes complexos possui uma raiz complexa.
Demonstração:
Se você não leu a Parte 1, clique aqui antes de ler a demonstração.
Tome
. Se denota o o polinômio com os coeficientes conjugados (conjugação complexa), note que o polinômio pertence à (pois ). Além disso, tem raiz em se, e somente se, tem raiz em [1]. Seja um corpo que contém todas as raízes de. Isto é,Note que o grau de
é . Podemos escrever como , com ímpar. Façamos indução em . Para , temos que o grau de é , e portanto, tem raiz real (pois é ímpar). Agora, fixe e considere o conjuntoVeja que
tem exatamente elementos [2]. Defina . Agora, considere o polinômioNote que o grau de
é . Como os coeficientes de são expressões simétricas em , também o são em . Desta forma, [3]. Sabendo isso, note que a hipótese de indução se aplica em e, portanto, tem raiz em . Digamos que esta raiz sejacom
. Como existem infinitas escolhas para e finitas possibilidades para e , então existe tal que [4]Através de combinações lineares de
e , podemos concluir que e . As raízes do polinômio quadrático e . Portanto, e são números complexos [5]. Notas:
[1] De fato, suponha que
tem uma raiz . Então, devemos ter ou . Se , acabou. Se não, . Conjugando os dois lados, temos . Logo, também tem raiz complexa.[2] Fixe
. Então, varia de a e obtemos elementos diferentes. Fixe , então varia de a e obtemos elementos. Repetindo o processo até , teremos no total elementos em .[3] Esta parte pode ser confusa para quem não está acostumado com polinômios simétricos, mas vou tentar esclarecer. Os coeficientes de
serão expressões simétricas elementares em . Como cada é simétrico em , então a expressão inteira será simétrica em . Se você ainda tem dúvida disso, pegue um papel e escreva um caso pequeno (por exemplo,) e talvez fique mais claro. O fato de pertencer a vem do Corolário do "Requisito 4" da Parte 1.[4] Existem, no total,
pares ordenados de índices para formar os . Posso representar a raiz complexa de como um par ordenado do tipo , em nossa demonstração, o par que apareceu foi . Como posso escolher infinitos números reais (distintos) para construir e o polinômio , em alguma dessas escolhas vou repetir algum par que já havia aparecido como raiz de algum . É nada mais que o Princípio da Casa dos Pombos.[5] Este fato segue diretamente do que mostramos no "Requisito 2" da Parte 1.
5 comentários:
Acho que essa deve ser a melhor demonstração do teorema fundamental da álgebra.
A matemática é a mais elementar possível, pelo menos é o que parece, sem contar que usa uns argumentos meio combinatórios legais.
Ótimo post, parabéns. =P
Muito interessante a demonstração.
Há outra, bem interessante, baseada em Análise Complexa. É corolário do seguinte teorema: Se f é inteira e lim z --> oo f(z) = oo, então f se anula em C.
Prova: Se f não se anular em C, então g = 1/f é inteira e lim z --> oo g(z) = 0. Como g é contínua (pois é inteira)e tem limite finito no infinito, g é limitada em C. Pelo Teorema de Liouville (funcões inteiras e limitadas são constantes), segue-se que g é constante. E como lim z --> oo g(z) = 0, temos que g é identicamente nula, o que contraria a definicão de g como g = 1/f. Logo, f se anula em C.
Todo polinômio P é uma função inteira. E se P não for constante, então lim z --> oo P(z) = oo. Logo, segue-se do teorema que vimos que P se anula em C.
Artur, da lista OBM
Olá, obrigado pelo comentário. Realmente, com um pouco de análise complexa é bem mais fácil demonstrar este teorema. Eu conhecia uma demonstração muito parecida com essa, essencialmente é a mesma coisa (usa o Teorema de Liouville etc.).
fica mais façil ainda se usar teoria de Galois.
nossa, muito interessante a forma de demostrar esse teorema, faço mateḿatica e estou maravilhada com esse universo de conhecimento...
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