quinta-feira, 4 de fevereiro de 2010

Problemas LeGauss: Problema 2 - IMO 1984

O seguinte problema de Teoria dos Números foi proposto na IMO de 1984:

Ache um par de inteiros positivos e que satisfazem, simultaneamente,

não é divisível por ;
é divisível por .

Por incrível que pareça, este problema não é muito difícil e requer apenas alguma familiaridade com congruências e fatoração de polinômios. Segue a solução obtida por mim e pelo Gabriel:

Uma boa estratégia é impor que é módulo e fatorar esta expressão para fazer aparecer e aplicar a restrição do item . Portanto, note que



Como



podemos colocar em evidência na expressão anterior e, efetuando as devidas adições e subtrações, ficaremos com



Magicamente, também podemos fatorar e , obtendo



Muito melhor, agora vamos impor que isto é módulo , isto é,




Podemos "cancelar" o no início da expressão e teremos



Mas, por , sabemos que . Logo,



Agora, observe que, por , nem nem podem ser múltiplos de . Portanto, eles são invertíveis módulo . Fazendo , ficamos com



Mas, observe que . Logo,



Isto quer dizer que existe um inteiro tal que



Basta achar o certo. Obviamente, não pode ser e muito menos negativo. Você não vai precisar fazer muitas tentativas, pois tomando temos que uma solução é . Substituindo , temos



Claramente, podemos tomar e . Note que estes inteiros são positivos e satisfazem . Além disso, satisfazem em razão dos cálculos acima. E isto termina o problema.

Até.




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