sexta-feira, 12 de fevereiro de 2010

Uma aproximação mais simples para o problema dos aniversários

Recentemente, no blog Fatos Matemáticos, o autor postou sobre o clássico problema dos aniversários. O que torna este problema tão famoso é o fato de sua solução ser completamente contra-intuitiva. Para citar um exemplo, suponha que numa sala há 40 pessoas; a probabilidade de existirem duas pessoas que fazem aniversário na mesma data é de quase 90%!

No entanto, como o cálculo dessa probabilidade envolve fatoriais, costumamos aproximar a solução, deixando a fórmula num formato mais fácil de ser computado. Em seu post, o Prof. Paulo Sérgio aproximou a solução utilizando a conhecida fórmula de Stirling. Mas, neste problema, existe uma aproximação um pouco menos eficiente mas que é muito mais simples. Vejamos:

Queremos aproximar a probabilidade



Note que




Agora, observe o gráfico das funções e .


Para valores de próximos de , a reta é bem próxima da função . Portanto, nossa aproximação consiste em apenas substituir os valores por . Esta aproximação será boa porque, neste problema, estamos trabalhando com valores de muito menores que .

Substituindo na fórmula, temos



Somando os expoentes, teremos no final



Vamos verificar se esta aproximação está realmente boa. Para isso, vou substituir alguns valores de e comparar com os resultados obtidos no Fatos Matemáticos. Os meus resultados estão em azul.



Até.




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