sexta-feira, 12 de fevereiro de 2010

Uma aproximação mais simples para o problema dos aniversários

Recentemente, no blog Fatos Matemáticos, o autor postou sobre o clássico problema dos aniversários. O que torna este problema tão famoso é o fato de sua solução ser completamente contra-intuitiva. Para citar um exemplo, suponha que numa sala há 40 pessoas; a probabilidade de existirem duas pessoas que fazem aniversário na mesma data é de quase 90%!

No entanto, como o cálculo dessa probabilidade envolve fatoriais, costumamos aproximar a solução, deixando a fórmula num formato mais fácil de ser computado. Em seu post, o Prof. Paulo Sérgio aproximou a solução utilizando a conhecida fórmula de Stirling. Mas, neste problema, existe uma aproximação um pouco menos eficiente mas que é muito mais simples. Vejamos:

Queremos aproximar a probabilidade



Note que




Agora, observe o gráfico das funções e .


Para valores de próximos de , a reta é bem próxima da função . Portanto, nossa aproximação consiste em apenas substituir os valores por . Esta aproximação será boa porque, neste problema, estamos trabalhando com valores de muito menores que .

Substituindo na fórmula, temos



Somando os expoentes, teremos no final



Vamos verificar se esta aproximação está realmente boa. Para isso, vou substituir alguns valores de e comparar com os resultados obtidos no Fatos Matemáticos. Os meus resultados estão em azul.



Até.




7 comentários:

Ricardo Bittencourt disse...

Eu sempre aproximei exp(x) por (1+x), mas é a primeira vez que vejo ao contrário :)

Prof. Paulo Sérgio disse...

Tiago, novamente o seu blog está de parabéns! Realmente esta complemementação ficou muito boa, enriquecendo o assunto. Isso vem mostrar, como eu escrevi no duocentésimo post, que os blogs serão a principal forma de divulgar o conhecimento.

Thiago S. Mosqueiro disse...

Ricardo Bittencourt, já vi coisas bem piores : ) Veja no Chen, Rep Group Theory, acho que cap 10, ele faz algo similar com operadores.... hehehehe

T disse...

Aproximar exp(x) por 1+x e exp(-x) por 1-x não é tão ruim quando x é pequeno. Um outro jeito de ver isso, sem ser pelo gráfico, é expandindo exp(x) e exp(-x) em taylor, coisa que os físicos, como o Thiago, fazem de olhos fechados e sem dor na consciência.

Outra coisa interessante é que, normalmente, estamos acostumados a colocar 1+x no lugar de exp(x) para facilitar a conta. Nesse exemplo, fizemos o contrário, simplesmente por causa da propriedade de adição dos expoentes.

E obrigado ao Paulo pelo comentário. ;-)

Thiago S. Mosqueiro disse...

Tiago, pelo que vi quem tá usando essas coisas é você..... =P E eu fico com dor na consciência sim... só não deixo de fazer : )

T disse...

Ah! Mas isso aqui é matemática recreativa. Não estou tentando descrever o universo com aproximações porcas...

Ok, parei. É brincadeira viu?

Gabriel Martins disse...

Tiago segura sua onda ae...
Primeiro foi você que postou sobre aproximações numéricas huhuahuaha

Divertido o post, mesmo que o assunto não me atraia muito.