quinta-feira, 8 de abril de 2010

Afinidades: O lema dos três pontos

Olá galerinha do LeGauss.

Continuando meus estudos sobre curvas algébricas li sobre um lema que achei bonito e decidi postá-lo aqui. O lema dos três pontos (three point lemma) dá uma boa interpretação geométrica do que é uma afinidade, transformações muito utilizadas em geometria algébrica.

Vamos por a mão na massa então.

Primeiro, vamos definir o que é uma afinidade.

1) Afinidades

Uma afinidade é uma composição de uma transformação linear inversível e uma translação, i.e., seja e uma matriz inversível, temos:


Geometricamente, você que está familiarizado com álgebra linear deve conseguir enxergar que essa transformação faz alguns esticamentos e rotações e depois translada o resultado.

É fácil provar também que as afinidades formam um grupo com a operação de composição. A parte mais "difícil" da prova é mostrar o inverso mas note que se então .

E agora vamos ao lema e sua prova!

2) O lema dos três pontos

Sejam e triplas de pontos não colineares, então existe uma única afinidade que leva respectivamente em .

Demonstração:
Como as afinidades formam um grupo, basta mostrar que podemos levar os pontos respectivamente nos pontos quaisquer, não colineares.

Pois se e , então e o mesmo vale para os outros pontos, além disso a unicidade vai também valer (pela unicidade de inversos em grupos).

Precisamos então de uma afinidade tal que:



É fácil ver que esse sitema define unicamente , logo define, também unicamente, nossa afinidade. Além disso precisamos provar que , pois a transformação linear da afinidade tem que ser inversível.

Suponha por absurdo que . Isto implicaria que os vetores são linearmente dependentes, logo os pontos são colineares e são também colineares suas translações o que contradiz o enunciado.
Logo .

Espero que tenham curtido!
Abraços.

Bibliografia
C.G.Gibson - Elementary Geometry of Algebraic Curves





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