sexta-feira, 11 de junho de 2010

É uma bazuca, mas é legal

Olá galerinha do LeGauss

Em um post anterior afirmei que um certo número era claramente finito:


Se quiser tente provar, não deveria ser mto difícil, um esquema parecido com o que eu fiz no meu post pode ajudar.

Mas nesse post vou utilizar o teorema do ponto fixo de Banach que eu já demonstrei aqui no blog (se não viu veja aqui).

Vamos lá!

Perceba que esse número claramente pode ser definido como o limite da sequência:



Podemos também olhar para a função e perceber que na verdade nossa sequência é a sequência de iteradas dessa função. Isso é, podemos definir:



E se mostrarmos que essa função é uma contração, saberemos que ela tem um único ponto fixo e além disso independente de quem é essa sequência convergirá para esse ponto fixo!

Para mostrarmos que ela é uma contração temos que mostrar que:



Note que podemos olhar só para os números pois a função é monotônica e no caso eu estou incluindo o zero em .

Basta notar agora que:



Esse dois vale pela monotonicidade da função e porque

Isso motra que a função é uma contração, portanto possui um único ponto fixo em e que nossa sequência portanto converge pra ele independente de quem é , desde que ele pertença ao domínio que nós impomos.

Tá aí uma aplicação legal do teorema que eu demonstrei. =P
Espero que tenham curtido.





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