quinta-feira, 24 de junho de 2010

Um limite LeGauss de novo

Olá galerinha do LeGauss.
Vou mostrar hoje um problema divertido e com uma solução geométrica roubada sem querer ser redundante. =P

O problema é o seguinte:

Seja , os pontos inteiros dentro (estritamente) da circunferência de raio e seja sua cardinalidade (a quantidade de elementos lá dentro).

Qual o valor de ?

Vamos à solução!

Veja que olhar para a cardinalidade de é a mesma coisa que olhar para a área da figura formada pela união de todos os quadradinhos formados da seguinte maneira.
Para cada

Pois eles tem a área igual a e somar suas áreas é exatamente a mesma coisa que contá-los.

Agora dê uma olhada nessa figura para entender a demonstração, as circunferências abaixo tem raios , mas desenhei elas todas do mesmo tamanho de propósito.



Note que o que estamos fazendo na verdade é aproximando a área da circunferência por quadradinhos cada vez menores (ao menos em relação à circunferência). É exatamente o mesmo jeito que calculamos as áreas com a integral de Riemann, porém em vez de diminuirmos os lados dos quadradinhos estamos aumentando o raio da circunferência.

Logo para .



E



Legal não? xD
Espero que tenham curtido.
Até





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