sexta-feira, 2 de julho de 2010

Polinômios não solúveis por radicais

Olá galerinha do LeGauss

Vou provar um resultado legal nesse post que exige um pouco de teoria de Galois para entender (mais específicamente entender a correspondência de Galois).
Peço desculpas àqueles que não tem ainda a teoria para entender o post (de repente tentar ler é um bom estímulo para aprender essa teoria tão legal).

O teorema é o seguinte:

Teorema: Seja um polinômio irredutível de grau , primo, em . Se possui exatamente duas raízes não reais, então, se é o corpo de fatoração de temos que,

Notações:

:= Conjunto das raízes de .
:= grupo de automorfismos da extensão
:= grau da extensão.
:= Ordem do grupo .
:= SEMPRE é um primo. =P

Antes vamos provar um pequeno lema.

Lema: é gerado por qualquer transposição e qualquer -ciclo.

Demonstração: Depois de renomear os elementos podemos supor que a transposição é , e podemos escrever o -ciclo de forma que ocorra na primeira posição, . Sabemos que alguma potência de leva em , e sabemos que também será um -ciclo (usando o fato de que é primo), como , podemos então supor que desde o início. Depois de renomear os elementos novamente temos que .
Agora sabemos que.



Logo, todas as tranposições estão em , mas as transposições geram para qualquer .

Portanto .

Vamos à prova do teorema em si.

Demonstração: Seja e . Como é irredutível, , como pelo teorema de jigglypuff , pois é Galois.

Pelo teorema de Cauchy, existe um elemento em de ordem , mas os únicos elementos de ordem em são -ciclos (a ordem de uma permutação é o mmc dos comprimentos dos ciclos disjuntos que compõem ela). Isso é, existe , um -ciclo agindo nas raízes de .

Seja a conjugação complexa em ( é claramente um -automorfismo). fixa todas as raízes de , menos as complexas, essas ele troca.

Então , possui um -ciclo e uma transposição. Logo .

É um fato da vida que não é solúvel.

E um outro teorema, bem importante, da teoria de Galois diz que um polinômio é solúvel por radicais (i.e. suas raízes podem ser expressas por somas, multiplicações, divisões, radiciações, etc, finitas de números no corpo de base) se e somente se, o grupo de automorfismos do seu corpo de decomposição é solúvel.

Ou seja esse teorema mostra um jeito fácil de saber se o um polinômio não é solúvel por radicais.

É isso, espero que tenham curtido!
Abraço.





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