quinta-feira, 8 de julho de 2010

Um problema legal da Putnam

Olá, vamos direto ao problema:
Diga se a série converge, e se sim diga para qual valor.

Vamos à solução:

Vou criar umas variáveis e fazer umas contas que no final vão dar muito certo.

Sejam e . Vamos utilizar a famosa identidade trigonométrica.


Tomando dos dois lados da equação e fazendo e (lembrando também que e ).


E isso transforma nossa série aparentemente bizarra em uma série telescópica.


Vamos olhar a soma dos 5 primeiros termos por exemplo.


Isso já nos da uma boa (boa o suficiente para mim) dica do que está se cancelando.
Seja então



Podemos deduzir que:



E isso acaba o problema.
Espero que tenham curtido. Até





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