domingo, 7 de novembro de 2010

é irracional

Enquanto meu outro post não sai, aqui vai uma demonstração bonitinha e fácil. Tudo o que vamos usar são alguns resultados elementares de séries infinitas.


Teorema. é irracional.

Demonstração. Por definição


Suponha, por absurdo, que é racional. Então podemos escrever , com e inteiros e primos entre si. Então


onde


Multiplicando por , temos



Pela expressão acima (a segunda igualdade), é um número inteiro. Mas



Utilizando a fórmula da soma de uma P.G. infinita, temos



Ora, mas é inteiro e está entre 0 e 1 (estritamente), contradição.





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