LeGauss

"PUC is hard because it feels like highschool"

2011-12-24T17:36:00.000-02:00

Com essa frase, a aluna de Princeton Flora Thomson-Devaux causou certo mal-estar entre o meio acadêmico brasileiro. Flora, que estuda Portugês e Espanhol em Princeton, veio ao Brasil fazer um intercâmbio (na PUC-Rio) com objetivo de estudar um pouco da música popular brasileira dos anos 20.

Em meados de Setembro de 2011, Flora, inconformada com as cenas presenciadas em sala de aula, acabou desabafando em seu blog no site da Revista Piauí (aliás, uma ótima revista!). O desconforto causado pelas palavras da estudante não deve se aplicar apenas aos alunos da PUC, mas a todos os universitários brasileiros. Seja qual for a sua universidade, é difícil não se identificar com o quadro pintado por Flora: alunos desinteressados, desmotivados e, acima de tudo, descompromissados com o próprio ensino.

Se você não leu o texto, aqui vai:

I have a confession to make. PUC is harder than Princeton.

Maybe not in terms of workload, or reading difficulty, or even the fact that all my classes are in Portuguese. PUC is hard because it feels like high school. I know that it’s only been two years, but I’d completely forgotten what it was like to be in a classroom and feel that nobody wanted to be there. “You have the right to miss up to 25% of the classes,” one professor explained wearily as students texted in the back of the room. “If you copy from Wikipedia on your midterm, we will find out,” said another. At one point during a Brazilian literature course, the professor was resolutely talking over at least 3 different whispered conversations; in a 4-person history seminar, the benevolent old professor actually had to shush 50% of the class.

PUC is hard to deal with because people don’t seem to care about the classes, or know why they’re there. All right, that’s not true of everyone. The four of us were talking before the history seminar, and one of the students is working 10 hours a night while writing his thesis because he has a one-year-old daughter. A rare few seem genuinely excited about the courses.

But often even I can’t understand why. I’ve witnessed professors come into class and spend the entire time reading out loud. I don’t mean reading prepared notes, I mean repeating the assigned text and occasionally elaborating. My course on Poverty and Social Inequality had a lively discussion the other day, but that’s only because everyone was complaining about the cost of living in Rio. (If there’s one thing Brazilians love, it’s complaining about food prices. Seriously. I swear, I can walk up to any carioca and whine about how much cheese costs at Zona Sul, and we can keep going like that for at least half an hour. Instant friendship.)

“Oh, you should be fine,” one PUC student said when I listed the courses I was planning to take. “Those are all in humanities. So pretty much you just have to show up to a few classes and then do all the readings right before the exam.” I laughed nervously, hoping he was kidding, but that doesn’t appear to be the case.

I might have been under incredible stress at Princeton, reading and writing at least 10 times more, but I thrived on my work. And so did most everyone around me. I’d come out of a really provocative seminar discussion walking on air; here, I have to show up to class, sit for 2 hours, and get my name checked off on the roll. (Yes, they call roll.) Sometimes it doesn’t feel like college so much as afterschool detention. So, yes, PUC is hard.

É claro que, em termos de excelência acadêmica, Princeton provavelmente está muito à frente de qualquer universidade brasileira. Desta forma, é de se esperar algum tipo de "choque de realidade" quando um aluno vindo de Princeton decide estudar no Brasil. Mas o ponto não é o fato de nossas universidades serem jovens, nosso país subdesenvolvido, ou qualquer outro fator financeiro. O mais desesperador é perceber a falta de motivação e/ou de empenho tanto por parte do corpo discente quanto do corpo docente.

Pior ainda é ver que Flora não está sozinha. Outros estrangeiros acabam compartilhando da mesma impressão, como mostra essa reportagem.

Como não creio ser capaz de discutir esta questão mais a fundo, vou parar por aqui. Mas, ainda sim, julgo ser uma ótima oportunidade para refletirmos como nós, brasileiros, valorizamos a educação de uma maneira geral.

Até.

Probleminha legal (partição do plano)

2011-12-21T12:21:00.001-02:00

Eis aqui um probleminha interessante que um amigo me comunicou (ele tirou de um livro, mas eu esqueci qual era o livro; se eu lembrar, coloco o nome aqui).

É possível encontrar uma partição do plano em dois conjuntos, de forma que nenhum deles contenha três pontos equidistantes?

Clicando aqui, você confere uma "prova sem palavras" que eu fiz baseada na solução de outro amigo meu.

Mario vai à universidade (de novo)

2011-12-11T00:21:00.001-02:00

Aparentemente, a clássica saga dos jogos Super Mario, da Nintendo, continua rendendo discussões no meio acadêmico. O Rodrigo já mostrou aqui, em Um estudo legauss, o trabalho que alguns alunos fizeram, estudando a gravidade nos jogos do Super Mario.

Agora, a Anita me mostrou mais um estudo, desta vez sobre a trilha sonora do Mario World. É um video produzido por alunos de Cinema da Universidade Federal de Pernambuco. Confiram, é bem legal:

Por enquanto é só, se alguém conhecer mais estudos acadêmicos sobre o Mario me avise. ;-) Até!

A conjectura de Poincaré - Geometria Para entender o Universo

2011-10-15T22:20:00.000-03:00

Recentemente, a Conjectura de Poincaré (depois de 100 anos de resistência) foi provada. Isto causou bastante estardalhaço na mídia, principalmente em razão de Grigori Perelman - o matemático que demonstrou a tal conjectura - ter se recusado a receber o prêmio milionário oferecido pelo Instituto Clay e também a medalha Fields.

Este não é um post explicativo sobre a Conjectura de Poincaré, pois dificilmente alguém conseguiria explicar tal problema matemático de forma tão elementar quanto Marcelo Viana (atualmente pesquisador do IMPA). Seguem 6 videos de uma palestra proferida por Viana no Instituto de Física da USP sobre a conjectura de Poincaré.

Apenas um aviso: a palestra é bem elementar mesmo, qualquer pessoa tem a capacidade de entender. Se você já sabe bastante sobre topologia e geometria, talvez você fique um pouco decepcionado, mas ainda assim acho que vale a pena.

Aliás, acabei de me lembrar de outro video. Para o leitor um pouco mais "letrado" em matemática, tem também uma ótima palestra de divulgação, proferida por Fernando Codá (também pesquisador do IMPA) sobre o tema Análise Geométrica, que também tem tudo a ver com a conjectura de Poincaré. Você pode baixá-la no seguinte link:

http://strato.impa.br/videos/28_CBM/coloquio2011_28072011_coda.flv

É isso, até. ;-)

Brincando com áreas infinitas

2011-09-05T19:47:00.000-03:00

Tinha um erro nesse post e está sendo corrigido. =P
Peço desculpas.

OSESP ao vivo!

2011-08-25T22:44:00.002-03:00

Uma boa notícia: a Orquestra Sinfônica do Estado de São Paulo (OSESP) vai transmitir um concerto ao vivo neste sábado 27/08. O concerto poderá ser visto através do link abaixo, aonde você também pode conferir as peças que serão executadas.

Concerto Digital OSESP

Depois, a transmissão ficará disponível por mais 30 dias no site da OSESP.

Observação: eles usam um plug-in da Microsoft, que eu (que uso Linux) só consegui instalar entrando neste link.

Achei uma ótima iniciativa. Dependendo da qualidade da transmissão, eu até pagaria por serviços deste tipo, deveriam começar a explorar mais coisas neste sentido. Afinal, não faltam pessoas que gostem de música clássica - ou erudita, como preferir-, mas nem todo mundo (= a maioria) tem a possibilidade de ir à Sala São Paulo

É isso, até.

Como funciona a sua calculadora?

2011-07-29T19:34:00.011-03:00

O objetivo desta exposição é mostrar como funciona o algoritmo mais utilizado em calculadoras científicas para calcular, principalmente, funções trigonométricas.

Introdução

Certamente calculadoras científicas utilizam métodos numéricos (algoritmos que obtêm um valor aproximado) para retornar valores de funções como seno, cosseno, exponencial, etc. Você já parou para se perguntar que métodos são esses?

Se você já fez um curso básico de Cálculo, sei que a primeira coisa que passou pela sua cabeça neste momento foi Série de Taylor. Aproximar usando Taylor é realmente muito simples; por exemplo, a série do seno é

Basta então escolher alguma precisão (em casas decimais, por exemplo) e truncar esta série para obter uma expressão finita. Por exemplo, todos sabemos que, para os nossos professores de física, , que é uma aproximação em Taylor de ordem 1. Você pode escolher qualquer grau e depois calcular o quão boa é esta aproximação, mas isto não nos interessa no momento.

O fato é que sua calculadora provavelmente não usa aproximação em Taylor! Isto pode parecer, sem dúvida, um tanto estranho. Aproximação em Taylor é simples e converge rapidamente. Além do mais, oferece uma expressão polinomial para qualquer uma destas funções. É difícil conceber algo mais simples.

Porém, temos que pensar que o hardware de uma calculadora é muito limitado. Tão limitado que multiplicar dois números pode se tornar uma operação lenta. De fato, multiplicação é uma operação (veja o post sobre Transformada Rápida de Fourier). Isto leva por água a baixo nossa expressão em Taylor, pois temos de realizar muitas multiplicações.

Antes de mais nada, então, é preciso deixar claro que tipo de operação uma calculadora (e, em geral, um computador qualquer) realiza rapidamente.Lembremos que computadores normalmente trabalham com números binários, então vou pensar em notação binária daqui para frente.

As operações mais rápidas que podem ser feitas num computador são:

Adicionar e subtrair números.
Comparação de números (i.e. decidir se é maior ou menor).
Armazenamento e leitura de números na memória.
Multiplicação por , . Ex.: .

Num computador com pouca capacidade de processamento, o ideal seria obter um algoritmo que utilizasse apenas estas operações. Mas será que isto é possível?

O algoritmo CORDIC

O objetivo agora é apresentar um algoritmo para calcular funções trigonométricas que se utiliza, majoritariamente, das operações rápidas definidas acima. Na verdade, além das operações rápidas, utilizaremos uma única multiplicação! O preço que pagamos pela eficiência é que este algoritmo não possui um formato tão simples quanto uma aproximação em Taylor.

Em 1959, Jack Volder (não consegui descobrir a profissão dele, mas imagino que seja engenheiro) inventou o algoritmo CORDIC. Esta sigla significa COordinate Rotation DIgital Computer.

Assim como boa parte dos algoritmos numéricos, o CORDIC foi desenvolvido por uma razão muito nobre: fins militares. O objetivo era utilizá-lo no sistema de navegação do bombardeiro B-58 Hustler.

Mas chega de história e falemos, de uma vez por todas, de matemática. O mais interessante é que o algoritmo se utiliza apenas de matemática básica (um pouco de matrizes de rotação é necessário) e é geométrico (no sentido em que é possível visualizar o que está acontecendo)!

Como funciona?

Este é meu testemunho pessoal sobre a dedução do algoritmo. Isto significa que vou tentar explicar as coisas do jeito em que eu acho mais natural. Antes de mais nada, vou tentar passar rapidamente a ideia do algoritmo. Mesmo que não fique muito claro agora, volte aqui depois de ler tudo e as coisas ficarão mais claras.

Passos gerais:

Vamos aproximar e ao mesmo tempo.
Podemos considerar o ponto no círculo unitário.
Objetivo: obter uma sequência de pontos em convergindo para .
Vamos assumir que todos os pontos desta sequência estão no círculo unitário. Por que? Pois é fácil ``mover'' pontos no círculo unitário.

Como movemos pontos no círculo unitário? Com matrizes de rotação. Precisaremos apenas de rotações no plano .

Vamos denotar

De acordo com os passos gerais acima, suponhamos que queremos aproximar . Vamos começar com um ponto no círculo unitário, digamos , e tentar obter uma sequência de ângulos (positivos ou negativos) de maneira esperta tais que

Ou seja, vamos movendo (girando) o vetor até se aproximar do ponto .

Talvez você tenha notado algo muito estranho acontecendo aqui. No início havíamos comentado que multiplicar números é uma tarefa penosa para uma calculadora. No entanto, estamos desenvolvendo um algoritmo que tem que multiplicar matrizes! Isto parece muito pior do que antes.

Nem tudo é o que parece. O segredo agora é realizar uma série de truques espertos de forma que esta multiplicação de matrizes fique muito simples. Para isto, comece observando que podemos fatorar :

O objetivo desta fatoração é tentar simplificar a forma da matriz. Agora pense: o que sabemos multiplicar rapidamente? Potências de 2! Nada mais natural do que considerar apenas ângulos de forma que , (esta é a nossa escolha esperta de ângulos).

Definindo , , temos

Esquecendo o por um momento, observe que estamos realizando apenas operações rápidas para multiplicar por um vetor.

Para utilizar estes ângulos numa calculadora, devemos calculá-los previamente, de outra maneira. Vejamos alguns valores iniciais.

Observe que, eventualmente, podemos parar de calcular estes valores pois , para pequeno. Por exemplo, para (isto é, ), esta aproximação já tem 8 casas decimais de precisão.

Agora expliquemos com um exemplo como que o algoritmo vai funcionar. Suponha que queremos aproximar . Vamos aproximar o ângulo , utilizando nossos . Assim, obteremos uma sequência convergindo para :

Começamos tomando

Muito pequeno, então somamos:

Passou, então subtraímos:

Etc.

Em cada passo, o algoritmo deve verificar se a aproximação obtida é maior ou menor (operação rápida) que o número desejado. Ao mesmo tempo em que aproximamos o ângulo, devemos aproximar o cosseno e o seno. Para isto, vamos multiplicando as matrizes correspondentes.

onde . Fazendo apenas 3 passos, temos , . Enquanto que e .

Então, se o algoritmo rodar passos, teríamos algo do tipo

onde .

Em linhas gerais, este é o algoritmo: aproximar o ângulo somando ou subtraindo ângulos e realizar os produtos das matrizes correspondentes. Mas ainda restaram alguns problemas:

Quem garante que o método sempre converge?
Que critério de parada devemos utilizar?
Como lidar com os ?

Todas estes problemas estão intimamente relacionados. Aqui entra o pulo do gato.

Teorema. Utilizando o método descrito anteriormente, temos que

se .

Vamos entender como utilizar o teorema acima para resolver todos os nossos problemas em uma tacada só. O teorema acima nos diz de maneira precisa como estimar o erro das aproximações. Por exemplo, se quisermos uma aproximação com 10 casas decimais, poderíamos tomar e parar de aproximar sempre em , pois

Esta observação resolve tudo. Se fixarmos que vamos parar sempre em (para qualquer escolha de ângulo), teremos que será uma constante (pois cosseno independe do sinal [*]). Utilizando qualquer outro método, calculamos previamente:

Feito isto, podemos implementar esta constante direto no hardware, sem precisar calculá-la durante o método. Logo a única operação não-rápida que estamos fazendo é uma multiplicação por uma constante no final. Observe que, como os também já estão pré-definidos, então podemos também implementá-los direto no hardware.

Em nenhum momento eu demonstrei o teorema. Não irei demonstrar aqui pois a demonstração é um pouco técnica e meio chata. No entanto, se você tiver curiosidade, pode clicar aqui. Nada mais além de um primeiro curso de Cálculo é
necessário para compreender esta demonstração.

Observações finais

O mais impressionante é que este mesmo algoritmo pode ser adaptado para calcular qualquer função de uma calculadora científica comum:

Funções hiperbólicas;
exponencial;
logaritmo;
raízes.

Porém, os detalhes são mais técnicos e algumas adaptações são até proprietárias. Vasculhando no Google é possível achar algumas coisas.

Este é um belo exemplo de como utilizar pouca matemática mas muita criatividade para criar um algoritmo extremamente útil. Vi inicialmente no artigo Alan Sultan, CORDIC: How Hand Calculators Calculate, The College Mathematics Journal (MAA), Vol. 40, no 2, 2009, pg. 87-92. No link da Wikipedia você acha algumas outras informações interessantes.

Até.

Notas:

[*] Isto mostra que devíamos ter fatorado exatamente o cosseno, e não o seno.

P.S. Segundo o Gabriel, este post não deveria se enquadrar na seção de matemática, pois não demonstrei nenhum teorema. Peço desculpa aos matemáticos que leram este post. :)

Conectando cidades

2011-07-15T12:26:00.003-03:00

Os videos falam por si mesmos (é preciso saber inglês):

Problema

Solução

Comentários

Falando sério, achei muito legal. Aliás, pra quem não conhecia o canal deste cara, é uma boa dica dar uma olhada nos outros videos dele.

Eu acho que este é um exemplo perfeito de como tornar matemática mais interessante no colégio, ou até mesmo na faculdade. O que acharam?

VolksWagen, the dark side

2011-07-06T22:24:00.006-03:00

Greenpeace lançou uma campanha bem nerd contra a gigante Volkswagen, que se nega a adotar medidas para cortar emissões de CO2. Confira o video abaixo da campanha:

Junte-se à rebelião, acesse http://vwdarkside.com/en.

Aparentemente, ainda há uma recompensa conforme a notícia vai espalhando: uma camiseta especial de confecção limitada.

Se você já tiver iniciado seu treinamento jedi, deixe nos comentários o link da sua página (eu vou visitar cada um). Eu já estou lá, me ajude a evoluir como jedi acessado minha página:

http://vwdarkside.com/en/jedi/thiago-mosqueiro-196366.

Conexão VPN Cisco com a USPnet

2011-07-06T20:41:00.006-03:00

A USP assina diversas revistas, e recebe seus fascículos ao longo dos diversos campi. Toda revista assinada dá acesso a seu acervo virtual dentro de um período (que varia de assinatura para assinatura). Vale comentar que a USP assina MUITA revista, nem toda universidade tem esse acervo. Mesmo assim, é muito chato ter que ir para a universidade para baixar artigos ou usar o web of science. Como há pouquíssimas revistas de acesso aberto (como as da série PLOS), há duas alternativas: ou você compra o artigo, que custa de U$ 20.00 para mais, ou você usa uma conexão de rede privada virtual, VPN. Desse jeito, você navega como se você estivesse de dentro da USP.

Verifique com sua universidade como fazê-lo, mas no caso da USP temos a sorte de estar tudo já bem mastigado: basta que você use o mesmo login e senha de seu e-mail @usp.br e configure a conexão em seu computador. Caso você não tenha e-mail @usp.br (o que é difícil, já que atualmente a política é obrigar os alunos a tê-lo), basta fazer o pedido de usuário para usar VPN aqui. Para configurar, basta seguir pouquíssimos passos descritos nos tutoriais desta página. Para usuários de Fedora (como eu), basta utilizar o tutorial para RedHat. Tanto para Linux (Debian/Ubuntu e RedHat/Fedora) como para Windows eu testei e tudo funciona muitíssimo bem.

Após configurar tudo, você navega como se estivesse na USP: pode baixar artigos, utilizar serviços restritos, etc. Uma coisa que me intriga é a falta de divulgação deste serviço: sou eu ou quase ninguém sabe que a USP disponibiliza isso?

Desculpem um post tão exclusivo para o pessoal da USP. Para os de outras universidades, quaisquer dúvidas eu posso ajudá-los a buscar um serviço equivalente.

Dicas para slides em LaTeX

2011-07-01T12:00:00.007-03:00

Um Curso de \LaTeX

Edição n. 11

Criar apresentações sempre foi uma questão de inspiração para mim. Com o tempo, aprendi a relaxar um pouco os limites que o LaTeX impõe nesse processo. Seguem algumas dicas que coletei durante minhas experiências com beamer (a classe mais utilizada para slides) e que podem ser úteis de uma forma bem geral. A ideia é aumentar a qualidade gráfica das apresentações e fazer com que o LaTeX não limite sua exposição, mas ajude. Depois de aprender bem, você poderá ouvir comentários como "uhm, nem parece LaTeX". Apenas leve na esportiva.

Antes de começar, um breve resumo do que se segue. Gostaria de apresentar a vocês soluções para (i) dividir seu slide em seções de forma organizada e simples, (ii) uniformizar espaçamento entre cada objeto de seus slides, (iii) escolher temas apropriados e, por fim, (iv) mostrar como criar caixas com qualidade vetorial sem utilizar ferramentas de edição gráfica. Abaixo está um exemplo que posso mostrar do resultado dessas dicas todas.

Use minipages à vontade

Um ambiente muitíssimo útil para dividir seus slides em partes é o minipage, já presente no LaTeX padrão. Ele é razoavelmente pouco explorado, embora não seja tão complicado de se utilizar.

Olhando o slide de exemplo que mostrei, podemos separá-lo em seções quadradas, cada uma delas representando um ambiente minipage novo. Para ilustrar essas divisões, na figura ao lado tracei retas vermelhas para destacar as áreas de cada minipage. Uma vez que você tem o slide "bolado", fazer essas divisões é uma tarefa simples. O que resta é decidir quanto espaço cada região ocupa.

O ambiente minipage funciona criando um tipo de espaço desconexo do resto. Seu único argumento define sua largura (tamanho na horizontal). Dois ambientes minipage seguidos por uma linha em branco estão em linhas diferentes, i.e., o primeiro aparecerá sobre o segundo; se não houver linhas entre os ambientes, eles aparecerão lado a lado caso caibam em uma mesma linha da página. Então, por exemplo, podemos dividir uma parte de seu slide em duas "colunas", podemos usar

\begin{minipage}{0.49\textwidth}

COLUNA 1

\end{minipage}

\begin{minipage}{0.49\textwidth}

COLUNA 2

\end{minipage

Para divisões mais complexas, basta inserir minipages dentro de minipages. Se você achar este método complicado, tente utilizá-lo e você verá que ele é mais fácil do que parece.

Uma sugestão que posso passar neste momento é planejamento: antes de começar a fazer seus slides, planeje-os em uma folha de papel. Só depois programe. Pessoas que seguiram esta ideia conseguiram criar suas apresentações em tempo razoável, comparável - ou até menor - a softwares WYSIWYG.

Padronize seus espaços

Cada item de seu slide deve ter uma separação de acordo com o contexto. Imagens, por exemplo, podem ser separadas por um pequeno espaço entre elas. Para tal, é recomendável utilizar a macro \vspace, cujo único argumento é uma distância. Eu costumo criar um comando chamado usualspace, por exemplo usando

\newcommand{\usualspace}{\vspace{0.3cm}}

Dessa forma, fica padronizado 0.3cm como espaço entre meus objetos. Distâncias maiores são sempre múltiplos desse deslocamento. O valor é uma sugestão pessoal, mas o interessante é você descobrir um valor mágico pra você.

Escolha dos temas

Antes do mais, leia o manual. O Til Tantau, autor do Beamer e de outros projetos (PGF e TikZ também), teve um trabalho imenso de documentar de forma magnífica seus pacotes. Nada mais justo do que doar um pouco de seu tempo para aprender e aproveitar esse material.

Uma das características que modificam mais visivelmente a apresentação é o tema escolhido. Vale lembrar que há combinações entre theme e color theme. Dependendo de suas escolhas, os resultados são bem diferentes. Ao utilizar um tema, você deve ter em mente qual será sua plateia: formalidades exigem temas com informação sobre você e seu grupo, infomalidade exige espaço para aproveitar a explicação.

Para iniciar sua escolha, teste essa matriz de temas em que são mostrados resultados da combinação entre color themes (horizontal) e themes (vertical).

Criando box com aspectos profissionais

Informações principais devem ser colocadas em destaque para garantir que os ouvintes comprem a sua ideia. Uma das formas de conseguir fazer isso é utilizando caixas coloridas e chamativas. Fazer isso no LaTeX não é uma tarefa difícil, mas fazer bem é outra história. A melhor forma que encontrei é utilizando um pacote interessantíssimo e que cada vez mais fará parte de minha rotina.

Trata-se do TikZ/PGF, outra invenção espetacular do Til Tantau. São pacotes que permitem criar figuras no LaTeX com macros bem avançadas. Veja exemplos do que se pode fazer com isso aqui. A ideia é simplificar a criação de fluxogramas, gráficos qualitativos, esquemas de grafos, modelagem, etc. O manual destes pacotes é muito ilustrativo e ensina o leitor resolvendo problemas bem próximos aos que nós encontramos no dia-a-dia.

Vou a seguir dar dois exemplos de como utilizar o TikZ e o PGF para criar essas caixas.

Primeiramente, vamos pensar em colocar referências. Pessoalmente, não consigo entender como pode ser útil adicionar referências em uma apresentação de slides da mesma forma como em livros/artigos: uma lista ao final de tudo. Aquilo não será aproveitado, ninguém vai anotar e as discussões já foram finalizadas há tempos. A forma que adoto é inserir referências em pequenas caixas ao longo da apresentação. Para tal, basta criar uma caixa discreta usando Tikz:

\tikz

{

\node [rectangle, thin, draw=COR, font=\itshape]
{\citacao{Autor e Autor. Nome do Journal, vol:num, ano.} }
}

Geralmente eu uso o \citacao para formatar todas as referências de forma idêntica. A figura abaixo exemplifica o resultado.

De forma diferente, um quadro que exponha uma ideia central deve ser chamativo e ter cores fortes. Suponha então que você quer criar uma frase dentro de um quadro com borda mais forte e com um dégradé. Para tal, basta formatar um pouquinho mais seu quadro e utilizar o PGF.

\tikz

{

\node [rectangle, minimum size=1cm, very thick, draw=COR, top color=COR-TOPO,
bottom color=COR-EMABXIO, font=\itshape]
{ TEXTO PRINCIPAL };

}

No exemplo abaixo, eu utilizei como bottom color a combinação yellow!80!black!30 e como top color a cor branca. A cor da borda foi verde mesmo.

O resto vai de sua imaginação. Por exemplo, uma boa pedida é fazer bordas arredondadas. Para tal, teste o código acima adicionando nas opções do nó rounded corners = 3mm. E que tal se em vez de a borda ser uma linha sólida, colocarmos uma linha tracejada? Basta usar a opção dashed.

Sugestão: você pode criar uma ambiente já pronto pra implementar essas caixas. Que tal? Poste sua ideia.

Últimos comentários

Espero que estas dicas ajudem de qualquer forma. Mais pra frente devo fornecer alguns códigos em conjunto com imagens de seus resultados em apresentações que eu utilizei para ficar mais claro como utilizar as ferramentas sugeridas.

Se tiver dúvidas, sugestões ou quer contribuir com sua experiência, deixe um comentário :)

Google+, mais uma vez repensando a internet

2011-07-01T00:46:00.004-03:00

Google+ me parece uma bela evolução do Wave. Pensei nisso depois de ver a grande propaganda desse novo serviço: "real-life sharing rethought for the web". A palavra chave disso é o "repensado".

A ideia original do wave era essa: repensar a forma como os e-mails funcionam. Algo como "e-mails foram criados na época em que computadores ocupavam salas inteiras, por que hoje deveriam funcionar da mesma forma?". Pra mim, o Wave continua sendo sensacional e sem igual para usos diversos, inclusive acadêmicos - imagine, por exemplo, reuniões todas documentadas e realizadas em waves. É uma pena que simplesmente não pegou.

Parece que com o g+ pode ocorrer de forma diferente. Diversas características que contribuíram seminalmente para a grande falha do Wave nem deixam vestígios no g+ (velocidade, complexidade, integração, ...). Os pontos positivos parecem continuar, dentre eles a inovação na forma como vemos as redes sociais. Para exemplificar isso, vejemos o Hangout: chat em grupo com texto, webcam, mic. Isso integrado com serviços como o Youtube. Pra mim, simplesmente perfeito.

Vale comentar que ainda mais vem por aí: notou que no gmail, aquela barrinha superior agora apresenta coisas do g+? Isso se deve a atualizações que estão por vir e são testadas em grupos de usuários (veja este post).

Eu estou bastante animado com o g+ e gostaria muito que mais pessoas passassem a fazer parte. Uma pena que eu fiquei igualmente animado com o Wave ¬¬

O que vocês acharam do serviço? Quantos estão ainda esperando pelo convite?

Matemática Geek: Cubos de Rubik

2011-06-24T16:15:00.001-03:00

Um grupo de professores da Universidade de Kent resolveram um problema que estava em aberto sobre o famoso cubo que quase todo nerd adora.

Usando um algoritmo eles mostraram que qualquer posição inicial pode ser resolvida em menos de 20 passos. A prova foi realizada utilizando muito tempo de computadores da Google para computar todas as 43,252,003,274,489,856,000 posições possíveis do cubo.

O time de pesquisadores explica em sua página alguns detalhes sobre o problema

"Qualquer pessoa que resolve o cubo utiliza algum algoritmo para poder resolvê-lo. Um algoritmo pode servir para resolver a face do topo, depois outro para resolver as arestas centrais, etc. Existem muitos algoritmos diferentes variando em complexidade e número de movimentos requeridos, mas aqueles que podem ser memorizados por um mortal costumam requerer mais de 40 movimentos".

Para quem se interessou seguem alguns links

Matéria na página da Universidade de Kent

Página do grupo de pesquisadores envolvidos

Até a próxima

Uma aula de lógica

2011-06-18T08:59:00.002-03:00

Todo acadêmico deveria conhecer:

Instrumentos de uma orquestra

2011-06-17T11:57:00.000-03:00

Para tirar um pouco as teias de aranha que já estão se formando nesse blog e dar uma quebrada nos posts de matemática, queria, entre outras coisas, compartilhar esse link que recebi por e-mail, muito interessante.

Basicamente, é apenas uma animação que mostra o posicionamento e os instrumentos que compõem uma orquestra sinfônica.

Link aqui.

Na verdade, o compositor americano Benjamin Britten (1913-1976) compôs uma música inteira com este mesmo propósito pedagógico: "Variações sobre um tema de Purcell" ou também chamada de "Guia dos Jovens para a Orquestra". No Youtube existem várias execuções diferentes desta peça, vou colocar a versão tocada pela Orquestra Sinfônica de Londres aqui:

Parte 1

Parte 2

Por fim, como sempre, a Wikipédia (em inglês) também tem um ótimo texto sobre o assunto.

Até.

Matemática em filmes

2011-05-22T20:48:00.001-03:00

Recentemente, mostramos aqui como que um roteirista do Futurama provou um teorema para utilizá-lo na série.

Todo mundo já deve ter visto um quadro-negro cheio de fórmulas aleatórias em algum filme, ou mesmo assistido a algum episódio da série Numb3rs, na qual um professor de matemática utiliza seus dons para ajudar a resolver crimes.

Você tem uma ideia de quantos filmes possuem alguma passagem matemática em suas cenas? Oliver Knill, um pesquisador em Sistemas Dinâmicos de Harvard, montou uma lista bem interessante:

http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/index.html

Neste link, o professor separou diversos filmes com aparições matemáticas, desde a hilária cena na qual Pinóquio abusa de artimanhas lógicas para não mentir (do filme Shrek)

até a uma demonstração do Snake Lemma, no filme It's My Turn.

Ah! Bem em baixo da página, também tem outros links interessantes. É isso!

Para rir ou para chorar - Parte 12

2011-05-15T23:42:00.000-03:00

Clique!

Entrevista com o Perelman

2011-05-03T09:37:00.000-03:00

O site MathDL publicou uma notícia legal com uma mini-entrevista com o matemático russo Grigori Perelman (só aquele cara que resolveu a conjectura de Poincaré =P).

A entrevista é bem interessante o link é esse

MathDL - Perelman Calls Poincare Conjecture "Formula of the Universe"

Até a próxima.

Uma aplicação inusitada do Teorema 90 de Hilbert

2011-04-16T15:56:00.003-03:00

Quem já estudou um pouco de Teoria de Galois, talvez já tenha ouvido falar sobre o Teorema 90 de Hilbert. Se você nunca ouviu falar, fique calmo que o teorema é muito simples. Este teorema, que é útil em alguns aspectos dentro da Teoria de Galois, pode ser aplicado de uma maneira muito surpreendente num problema de matemática elementar. Mais especificamente, podemos usá-lo para obter a forma parametrizada das triplas pitagóricas!

É preciso que você saiba um pouquinho de Teoria de Corpos para entender este texto. Antes de enunciar o teorema mencionado acima, precisamos de uma definição. Vamos assumir, daqui em diante, que todos os corpos mencionados têm característica 0, i.e., são extensões de .

Definição. Seja uma extensão finita e Galois de corpos e sejam todos os automorfismos de que fixam . Dado um elemento , definimos sua norma (sobre ) como

Por exemplo, suponha e . Os automorfismos de sobre são nada mais que a identidade e a conjugação . Então, dado um elemento , temos que .

Note que, neste caso, a norma de é um elemento de . Isto não é mera coincidência. Esta propriedade é um dos motivos pelo qual esta função é muito útil. Como a demonstração é bem simples, vou fazer logo abaixo.

Lema. Seja uma extensão finita e Galois de corpos e sejam todos os automorfismos de que fixam . Então, dado , temos que .

Demonstração. Os automorfismos são nada mais que os elementos do grupo de Galois . É um fato geral da Teoria de Grupos que, dado um grupo e um elemento , o mapa apenas permuta os elementos de . Logo, dado , temos que

onde é a permutação induzida por . Isto quer dizer que é fixado por todo automorfismo de sobre e, portanto (Teorema Fundamental), deve pertencer a .

Observação. Estou assumindo aqui que as extensões são Galois, tanto na definição quanto no lema. É importante ressaltar que a definição e o lema funcionam ainda pra qualquer extensão separável de corpos (neste caso, não consideramos mais os elementos do grupo de Galois, e sim as imersões de no fecho algébrico de ). No entanto, a demonstração não é tão curta quanto esta.

Ok, então o que diz, afinal, o Teorema 90 de Hilbert? Basicamente, este teorema caracteriza os elementos de norma 1 numa extensão cíclica (isto é, uma extensão Galois cujo grupo de Galois é cíclico).

Teorema 90 de Hilbert. Seja uma extensão finita cíclica e um gerador de . Seja . Então

Observe que a implicação é trivial. Não vou demonstrar este teorema aqui, mas você pode encontrar a demonstração em qualquer bom livro de Álgebra (e.g. Lang) que contenha Teoria de Galois. Isto é o bastante, vamos à aplicação inusitada.

Teorema. Os inteiros satisfazem a equação se, e somente se, existem inteiros e tais que é proporcional a .

Demonstração. Utilizaremos a extensão . O grupo de Galois tem dois elementos e é gerado pela conjugação . Seja

Como

temos que existe tal que . Tome tal que , digamos , com . Então

Ou seja, e e, portanto, é proporcional a .

Por hoje é só. Até.

Rodrigo Fonseca: Editores UML

2011-03-30T00:39:00.000-03:00

Rodrigo Fonseca: Editores UML

O Teorema de Futurama

2011-03-27T22:58:00.001-03:00

Minha descoberta do dia. Você sabia que existe um teorema em Teoria de Grupos provado apenas para resolver um problema criado na série Futurama? Quem demonstrou o teorema foi o próprio escritor do episódio Ken Keeler, que, além de escrever roteiros de sitcoms, é PhD em Matemática Aplicada, formado em Harvard.

Tanto o problema quanto a sua demonstração estão numa página da Wikipédia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Futurama_theorem

A demonstração também foi apresentada no próprio episódio (clique na imagem abaixo para ampliar).

Achei no YouTube um video legal com alguns cortes do episódio e que também explica o problema:

O teorema é simples, mas isso tudo não é muito legal? :D

Obs.: Vi originalmente no http://mathfail.com/.

O Teorema de Recorrência de Poincaré

2011-03-26T21:06:00.005-03:00

E aí galerinha do LeGauss.

Hoje vou provar um teorema que é bem fácil de se provar e é extremamente interessante. para entender a demonstração você precisará conhecer simplesmente as definições básicas de teoria da medida, como o que é uma álgebra, um espaço mensurável e uma função mensurável.

Vamos lá.

Teorema: Seja um espaço de medida finita e seja uma função que preserva a medida, isso é, é mensurável e para todo , temos que , então para todo o conjunto

Tem medida nula.

Ou seja o teorema diz que quase todo ponto de retorna infinitas vezes via para .

Demonstração:

Primeiro note que . Denotando , note que se , então , mais que isso temos que , logo pela invariância de pela medida.

Além disso note que , com isso conseguimos que

(Note que agora usamos fortemente o fato de ter medida finita, senão poderíamos estar subtraindo infinitos o que não faria sentido.)

Logo e então

Como queríamos.

Esse teorema é bem legal, ele é um indício de que transformações que preservam alguma medida tem uma dinâmica mais interessante (uma dinâmica sem recorrência não tem muita graça já que as coisas só se espalham) e acho que esse teorema por ser muito velho, hehe, foi uma das motivações para se desenvolver teoria ergódica, pelo menos foi o que eu li por aí. =P

Mesmo assim o teorema é legal por si só, espero que tenham curtido.

Abraço

Notícia Expressa: Alvin e os Esquilos - roedores que cantam podem ser realidade

2011-03-13T15:00:00.003-03:00

Você certamente já viu o desenho, filme ou ouviu falar sobre Alvin e os Esquilos: esquilos com uma impressionante habilidade vocal. Bem, este desenho é a primeira coisa que me veio à mente quando li que cientistas japoneses estão ensinando ratos a cantar, utilizando engenharia genética. Na verdade, cantar como pássaros, não como humanos.

É claro que fazer os ratos cantarem não é o objetivo da pesquisa (tenho minhas dúvidas...), e sim descobrir propriedades genéticas sobre a origem da linguagem humana. A notícia completa você pode conferir neste link aqui.

União dos Blogs de Matemática

2011-03-13T12:54:00.000-03:00

Olá! Estamos meio sumidos, é verdade. A frequência de postagens diminuiu drasticamente, mas espero que isso acabe em breve.

Enquanto isso, tive uma ótima notícia ao perceber que uma ideia que eu julgava interessante há tempos foi concretizada: é o site União dos Blogs de Matemática.

Assim, como o Science Blogs Brasil, acredito que a UBM pode realizar um importante papel, centralizando os diversos blogs de Matemática numa única página.

Mesmo o LeGauss não sendo um blog apenas sobre Matemática, esta é, com certeza, a maior sessão deste blog. Por isso nos sentimos honrados em sermos convidados para participar da UBM. E se você está procurando outros blogs com conteúdo matemático, dê uma passada lá.

Até.

Decomposição Primária e EDO's

2011-03-05T03:55:00.022-03:00

E aí galerinha do LeGauss

Conforme os estudos vão ficando mais tensos os post vão ficando mais escassos hehe, mas vou tentar me policiar para postar mais (agora que as aulas estão começando etc).

Nesse post vou provar o que é basicamente o teorema da decomposição primária e usar isso para provar que o espaço de soluções de uma EDO de ordem linear com coeficientes constantes tem dimensão , o que é na verdade uma aplicação legal do teorema de decomposição primária.

Eu tentei explicar tudo bem direitinho (quando não expliquei deixei claro o que estava assumindo) durante o post, principalmente coisas que são "assumidas" (na verdade completamente omitidas) na maioria dos livros de cálculo e EDO's que você vê por aí, esse teorema é bem fundamental, então se você assume muitas coisas tudo parece besteira. É normal você perguntar "Qual é a solução de uma EDO desse tipo?" para uma pessoa e ela saber responder, mas como viu um método bem ad hoc (thumbs up para o meu latim xD) de como encontrar a solução, não saber justificar por que todas soluções são realmente dadas por aquela forma. É nesse sentido que esse teorema é legal.

Depois desse papo vamos à matemática.

Teorema Seja um operador linear num espaço vetorial sobre um corpo . Se é um polinômio mônico tal que com cada irredutível e , denotando então:

(i)

(ii) Cada é invariante por

Demonstração

Obs: Não há restrição sobre a dimensão de

A ideia da demonstração é encontrar as projeções tal que , lembrando que a projeção é uma função tal que

(i)

(ii) (projetar uma projeção não faz nada)

(iii) (isso força a decomposição a ser uma soma direta)

Vamos procurar essa decomposição obviamente usando e

Basta fazer , como os polinômios são primos entre si existem tais que

(Isso é consequência de que o ideal gerado pelos é o anel todo, caso contrário ele seria um ideal próprio de que é um anel principal e teria um único gerador, que seria um polinômio que diviria todos contrariando o fato de que eles são primos entre si.)

Note que se então divide .

Fazendo é fácil ver que as funções cumprem os requisitos, como temos que e como divide temos que .

Além disso logo a imagem de está contida em para mostrar a continência contrária basta notar que se , ou seja, temos que

Pois divide para , logo .

O fato de que eles são invariantes por é evidente pois se então , o que termina a demonstração do teorema.

Obs: Quando tem dimensão finita e é o polinômio mínimo de esse é basicamente o teorema da decomposição primária.

Agora vamos usar esse teorema para provar coisas sobre o espaço de soluções de uma EDO.

Considere o espaço vetorial de funções complexas , vezes continuamente diferenciáveis. na verdade vamos considerar o contradomínio complexo só para conseguir fatorar polinômios em seus fatores lineares, note que o contradomínio não faz muita diferença no conceito de derivação, noções como holomorfia aparecem quando você tem funções de domínio complexo, isso é um pouco delicado conceitualmente então se quiser você pode simplesmente assumir que nosso polinômio se fatora em polinômios lineares, pois só iria usar o contradomínio complexo para ter o direito de invocar o teorema fundamental da álgebra, mas o caso complexo é bem importante na física por exemplo, muitos modelos dados por polinômios de raizes complexas são importantes, como por exemplo os modelos de osciladores etc.

Agora considere o subespaço vetorial de funções tal que

A primeira coisa que precisamos notar é que , a derivação, é um operador linear em , que ela é linear é claro o que não é claro é que para toda temos que .

Primeiramente note que , isso é consequência de que

Mas o lado direito dessa equação é uma função (pois ) logo o que por definição diz que e que , agora usando a linearidade da diferenciação é só notar que

(Note que antes não poderíamos fazer essa conta já que não sabíamos que , além disso note que poderíamos continuar o nosso argumento e mostrar que na verdade se então , mas não vamos precisar disso)

Temos então que , isso é é um operador linear em e que se denotarmos então como operadores.

Usando o teorema fundamental da álgebra podemos escrever e denotando o nosso teorema nos da que

Isso é toda função se escreve como onde isso é

Logo reduzimos o estudo da equação para o estudo da equação que é muito mais simples.

Note que usando propriedades da derivada é fácil ver que (é só usar a regra do produto e da cadeia) então temos que mas isso ocorre se e somente se é um polinômio de grau menor igual a , isso é

Para deduzir isso precisamos usar o teorema fundamental do cálculo para funções com contradomínio complexo, como eu disse isso não faz muita diferença é só escrever e usar que

e
Mas como eu disse essas coisas são conceitualmente delicadas se você está desconfortável com isso assuma o caso real.

Ou seja se e somente se é da forma

Isso significa que as funções geram o espaço das soluções de como essas funções são obviamente linearmente indepentes temos que elas formam uma base para o espaço de soluções que por sua vez tem dimensão

Agora usando nosso resultado anterior temos, graças à decomposição que obtivemos, que o espaço de soluções de será gerado pelas funções para e que são todas funções linearmente independentes, logo o espaço de soluções tem dimensão igual a o grau do polinômio .

C.Q.D

A referência para esse teorema foi o livro Linear Algebra do Hoffman e Kunze, mas mesmo nesse livro ele faz algumas afirmações que escondiam bastante coisa (como você vai perceber se comparar o que está escrito aqui com o que está no livro), mas esse não deixa de ser um dos melhores (dentre os que eu conheço, o melhor) livros de álgebra linear por aí.

Espero que tenham curtido o post.

May the math be with you.

Video-aulas matemáticas (entre outras ciências exatas)

2011-02-10T17:15:00.000-02:00

Olá galerinha do LeGauss.

Descobri um canal no Youtube da Universidade de New South Wales que disponibiliza alguns cursos online com qualidade de video e som muito boas!

Alguns cursos que vale a pena mencionar são os de Topologia Algébrica (que tem um enfoque meio diferente que me pareceu interessante) de Álgebra Linear e Cálculo. Tem cursos sobre "Higher computing" e Processamento de sinais mas eu não sei nada sobre essas coisas. xD

De qualquer forma vale a pena conferir o link é http://www.youtube.com/user/UNSWelearning

Queria agradecer ao meu amigo Danilo por ter dado a dica ;^).

Abraço e divirtam-se.

Trabalho colaborativo virtual com BrOffice e Dropbox

2011-01-30T14:17:00.000-02:00

Olá galera do Legauss, sei que faz tempo que não escrevo nada (e há uma boa razão pra isso em algum lugar) mas agora vou voltar com um review bem interessante (LeGauss não mais sofrerá da tirania dos matemáticos).

No semestre passado estive fazendo uns trabalhos em grupo de projeto de software no qual tivemos que produzir uns diagramas UML e um relatório contento esses diagramas. Para facilitar, utilizamos o Dropbox para compartilhar os arquivos do projeto com o grupo e fizemos os relatórios em BrOffice (a professora liberou o padrão em um .doc então LaTEX ficou fora de questão).

Vou supor que você e seus amigos já tenham instalado o BrOffice, tenha uma conta no dropbox(clique no link se não tiver) e tenha instalado o aplicativo do dropbox que permite sincronização automática dos arquivos. As imagens deste tutorial foram feitas em windows, mas são válidas para qualquer plataforma.

Parte 1: Compartilhando uma pasta para o projeto

A primeira coisa que você precisa fazer é criar uma pasta compartilhada. A maneira mais simples de fazer isso é ir na pasta do Dropbox no seu computador e criar uma pasta nova em algum lugar. Depois clique com o botão direito do mouse em cima da pasta e escolha a opção de compartilhar a pasta dentro do menu no Dropbox.

Isso é nada mais nada menos que um atalho que vai ligar seu navegador de internet (espero que seja o Firefox, senão entre já em www.getfirefox.com), entrar no site do do Dropbox e acessar as configurações de compartilhamento da pasta. Tudo isso pode ser feito manualmente pela interface web da sua contra Dropbox.

No final, você acabará na tela onde basta colocar os e-mails das pessoas que terão acesso a pasta.

A partir desse momento, a pasta aparecerá para todos que aceitarem o compartilhamento e qualquer arquivo colocado dentro da pasta é automaticamente enviado para o servidor e distribuído entre os membros que compartilham a pasta. Na verdade, você pode até criar subpastas dentro dessa pasta e tudo é automaticamente compartihlado.

Parte 2: Controle de acesso

Uma parte muito importante a ser considerada é o controle de acesso. Isso significa criar uma regra pra quem vai manipular o arquivo e quando, pois o Dropbox não permite edição simultânea de um arquivo. Caso duas ou mais pessoas tentem editar o mesmo arquivo, ou as modificações de uma das pessoas se perde ou é criado um conflito das versões do arquivo e este deve ser resolvido caso a caso e na mão.

O melhor a fazer aqui é combinar com o grupo quando cada um terá acesso a quais arquivos dentro da pasta. Isso pode ser feito por e-mail ou algum IM (Instant Messeger) como skype, msn ou gtalk o ainda mediante a criação de um arquivo extra vazio com o nome do arquivo que está sendo editado, assim todos sabem que só podem mexer em um arquivo se não existir esse outro arquivo (e devem criar um antes de começarem a alterar os arquivos). Depois de concluída a edição do documento, esse arquivo extra deve ser removido para que todos saibam que o documento está livre para edição.

Parte 3: Editando um documento do BrOffice de forma colaborativa

O BrOffice não permite edição simultânea, mas permite a inserção de Anotações. Isso pode ser feito em pelo menu Inserir → Anotação ou com o atalho CTRL+ALT+N.

A anotação fica ao lado da página sendo editada no BrOffice e referencia a um determinado ponto onde estava o cursor quando a anotação foi criada. Automaticamente, na anotação, é adicionada a data e hora da anotação e o nome de quem a criou (esse nome é obtido daquele formulário preenchido quando se executa o BrOffice da primeira vez). O ponto interessante é que o BrOffice tem inteligência suficiente para colocar as notas criadas por diferentes pessoas em cores diferentes. Assim, é possível deixar anotações para os outros membros do grupo sem que todos precisem estar juntos.

Um exemplo que aconteceu muito comigo foi que, ao escrever uma parte do documento, eu deixava uma anotação do tipo “Revise essa parte” depois meu amigo me avisava (pessoalmente ou pelo gtalk) que já lera e havia deixado uma resposta e eu abria o documento e, abaixo da minha anotação, vinha a resposta dele (sim, é possível responder a uma anotação com outra anotação) como “Alterei tal coisa” ou “Está bom”. Então bastava apagar as anotações que já haviam sido respondidas ou não eram mais necessárias.

Parte 4: Conclusões

Fazer trabalho em grupo pode ser um problema na faculdade pois há boa chance de os membros da equipe não possuírem disponibilidade de tempo compatíveis ou morarem muito longe uns dos outros. Nesses casos, o trabalho é quase sempre realizado pela internet, via uma constante troca de e-mails. Trocar e-mails é prejudicial pois, depois de um tempo, torna-se absurdamente difícil descobrir qual a versão principal ou a mais atual ou, com certa frequência, achar o arquivo na caixa de entrada em meio a outros tantos e-mails recebidos.

Usar o GoogleDocs também não é uma opção muito interessante pois a formatação é bem limitada e gostaríamos de um arquivo já com a formatação final.

Resta-nos o BrOffice (MSOffice não é uma opção, a não se que você e todos os seus amigos tenham R$300 para dar num editor de texto ou cometam um crime de copyright). Apesar de apenas ser possível um usuário por vez, as anotações pertencem a cada usuário. O uso de anotações, no lugar de e-mails, é um grande avanço pois permite comentário focado na linha em que se está. Você vê a anotação e vê a linha. Em um e-mail, você tem o comentário sem associação com o texto.

Como as anotações ficam na lateral da página, também fica muito fácil localizar os trechos que precisam de atenção. A diferença de cores para anotações de usuários diferentes facilita separar as suas anotações das anotações dos outros. Escrever no mesmo arquivo também ajuda a manter a formatação e os padrões.

Existem muitas outras formas de implementar esse sistema, essa foi apenas uma sugestão. Trabalhos em grupo sempre exigirão reuniões presenciais para discutir e fazer coisas. Essa sugestão é melhor aplicada se for apenas utilizada da confecção do relatório final, afinal, quanto mais independente os membros do grupo, mas difícil de juntar todas as partes será.

Etimologia Matemática

2011-01-29T00:27:00.003-02:00

Quem já estudou um pouco de Matemática deve ter se perguntado inúmeras vezes sobre a origem das palavras que definem os mais diversos objetos matemáticos.

Afinal, de onde vieram as palavras "discriminante", "cosseno", "afim," "anel," "interpolação", "paraconsistente", "integral", "simplexo" e "variedade"?

Para quem entende um pouco de inglês, a página Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, mantida por Jeff Miller é uma ótima referência. Existem ainda outros sites com menos termos, mas mais detalhados, como o Math Words and Some Other Words of Interest.

Pesquisando um pouco, é possível encontrar também alguns livros sobre o assunto, como, por exemplo, o The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. Mas este ainda não tive a oportunidade de ler.

Igualmente interessante, é descobrir quando foram usados pela primeira vez alguns símbolos matemáticos aos quais estamos tão acostumados, que você pode conferir na página Earliest Uses of Various Mathematical Symbols.

Enfim, se alguém souber de outras boas referências, pode compartilhar nos comentários aqui em baixo.

Até.

Obs.: Não consegui achar nenhuma boa referência em português, com termos que vão além da matemática elementar.

Amigo secreto e matemática

2010-12-31T00:46:00.002-02:00

Para boa parte dos brasileiros, fim de ano é sinônimo de confraternização, festas, presentes, aniversário de Cristo, ..., Papai Noel, peru, Réveillon e, claro, amigo secreto (ou amigo oculto, dependendo da sua região). Para nós qualquer época do ano é sinônimo de matemática. A seguir, vamos então explorar um pouco a relação desta brincadeira com a matemática. Mais especificamente, vamos calcular a surpreendente probabilidade de que ninguém retire o seu próprio nome no amigo secreto.

O amigo secreto

Imagino que todo mundo já conheça e já tenha participado de um amigo secreto, mas vamos lá:

Cada uma de pessoas escreve seu nome num pedaço de papel e o deposita em algum recipiente. Após embaralhar todos estes pedacinhos de papel, cada pessoa retira (em alguma ordem pré-estabelecida), um desses papéis que contém o nome de alguma das pessoas. A pessoa que retirou o papel não pode contar o nome de quem tirou. Sendo assim, estas pessoas combinam um dia e, nesta data, a pessoa tem que dar um presente para a pessoa retirada no papel.

Problema: e se alguém tira o papel com o seu próprio nome? Então o ritual teria que ser feito novamente, até que nenhuma pessoa tire seu próprio nome.

A probabilidade de alguma determinada pessoa tirar o seu próprio nome é fácil: . Mas qual seria a probabilidade de pelo menos uma pessoa dentre as tirar seu próprio nome? Ou, inversamente, qual seria a probabilidade de ninguém tirar seu próprio nome? Esta probabilidade está longe de ser trivial. O objetivo deste post é calculá-la.

Permutações Caóticas

A primeira coisa a se fazer é interpretar o "amigo secreto" matematicamente. Observe que, para cada pessoa , é associada uma uma pessoa . Denote . Note também que cada pessoa escreveu seu nome num papel, logo sempre existe uma (única) pessoa que irá retirar este papel, possivelmente você mesmo. Este bla bla bla todo quer dizer que é uma permutação de elementos (isto é, uma função bijetora de em ).

Obs.: O conjunto é meramente ilustrativo. Na prática, também temos permutações entre conjuntos e (isto é, conjuntos de elementos, ou símbolos, quaisquer). Mas temos uma associação óbvia entre estes conjuntos e e, portanto, acabamos por definir uma permutação como sendo uma bijeção de apenas por comodidade.

Para satisfazermos a condição de que ninguém deve tirar seu próprio nome, devemos impor , para todo . Em jargão matemático, queremos que não tenha nenhum ponto fixo.

Sendo assim, um jogo de amigo secreto válido (isto é, ninguém tira seu próprio nome) entre pessoas é nada mais do que uma permutação de elementos sem nenhum ponto fixo. Permutações sem pontos fixos são importantes, por isso têm um nome especial, são chamadas de permutações caóticas, ou desarranjos. Como não gosto deste último nome, daqui em diante utilizarei o termo permutação caótica para designar uma permutação sem ponto fixo.

Uma outra maneira de se definir uma permutação caótica é dizendo que uma permutação caótica de elementos é uma bijeção entre e de forma que cada elemento do domínio tem uma imagem "proibida'' . Em breve, também iremos utilizar esta interpretação.

Vamos então formular um novo problema que praticamente resolverá a probabilidade que estávamos procurando no início:

Quantas permutações caóticas de elementos existem?

Na seção seguinte, resolveremos este novo problema e, como corolário, calcularemos a probabilidade proposta.

Solução

Defina como o número de permutações caóticas de elementos, (exercício: calcule alguns valores pequenos para ). Vamos encontrar uma fórmula recursiva para .

Dada uma uma permutação caótica de elementos , existem valores possíveis para . Suponha então , para algum . Agora iremos analisar o comportamento de no elemento .

Se , então troca os elementos e entre si e se comporta como uma permutação caótica de elementos em . Logo, se , temos possibilidades para .
Se , então agora se comporta como uma permutação caótica de elementos da seguinte forma: temos uma bijeção entre e e para cada elemento do domínio temos uma associação proibida, mais especificamente, os números são proibidos de ir em e é proibido de ir em . Se isto ficou confuso, renomeie os conjuntos anteriores, fazendo corresponder: , , observe que estamos identificando com [*].

Das observações feitas acima (e pelo Princípio Fundamental da Contagem), temos então nossa recursão:

Agora vamos manipular esta expressão e deixá-la num formato mais conveniente.

Agora é fácil ver, por indução, que

Como e , temos uma nova fórmula

A partir daqui, não há saída melhor do que observar o comportamento desta recursão, adivinhar uma fórmula e prová-la por indução. Mas isto é muito fácil se fizermos um pequeno truque: dividir ambos os lados por .

Então é claro que (e pode ser mostrado por indução)

Logo, temos a seguinte fórmula fechada para

Exercício: mostre por indução.

Há ainda uma outra forma de calcular esta fórmula que utiliza o Princípio da Inclusão e Exclusão, e pode ser encontrada (em inglês) aqui.

Agora podemos finalmente calcular a probabilidade de pelo menos uma pessoa retirar seu próprio nome no amigo secreto. O número total de possibilidades para as retiradas do papel é nada mais do que a quantidade de todas as permutações possíveis de elementos, ou seja, . O evento de ninguém tirar seu próprio nome é nada mais do que exigir que a permutação não possua ponto fixo, ou seja, a permutação deve ser caótica. Logo, o número de possibilidades para tal evento é . Assim, a probabilidade de isto acontecer é dada por

O leitor mais atento já deve ter percebido o quão surpreendente é esta probabilidade. Vejamos primeiro uma tabela com a probabilidade calculada para alguns valores de , com 7 casas:

Ou seja, conforme aumenta, a probabilidade está se aproximando de uma constante! Isto quer dizer que, na prática, a probabilidade de ninguém tirar seu próprio nome num amigo secreto com 10 ou com 100 pessoas é quase a mesma!

Ora, mas que constante mística seria essa? Se você está acostumado com expansões de Taylor a resposta é óbvia. A expansão da função é

Logo, quando , temos

Em outras palavras, a constante mágica é .

Comentários finais

É interessante observar que nos deparamos com esta probabilidade muito mais comumente do que se pensa. Por exemplo, se você pegar dois baralhos e começar a virar as cartas de cada um desses baralhos ao mesmo tempo, a probabilidade de não sair nenhuma carta repetida é também próxima de . A página da Wikipédia em inglês fornece outros exemplos e alguns links relacionados.

A solução deduzida aqui é devida a Euler, mas meus agradecimentos vão para o ~~meu amigo~~ Robson, que já está careca de saber combinatória e me mostrou isto pela primeira vez.

Até.

Notas

[*] Se você ainda não entendeu, não desista. Tentei explicar da melhor maneira possível, mas confesso que isto é um tanto confuso. O fato é que isto é verdade e você tem que encontrar um jeito de se convencer disso.

Um problema de geometria e sua solução com números complexos

2010-12-15T23:52:00.000-02:00

Neste post vou dar um pequeno exemplo de como utilizar números complexos para resolver problemas de Geometria Euclidiana. Afinal, quando o problema fica complexo demais, por que não utilizar números complexos?

Piadas ruins a parte, aqui vai o problema.

Problema

Dado um quadrilátero , construa, sobre cada lado de , um quadrado tendo como um dos lados o lado do quadrilátero tomado (olhando na figura fica mais fácil de entender). Sejam e os pontos médios dos quadrados correspondentes aos lados , , e . Mostre que os segmentos e são ortogonais e têm o mesmo comprimento.

Uma breve revisão

Sabemos que os números complexos podem ser representados por pontos num plano, onde corresponde a um vetor com coordenadas . A soma definida em coincide com a soma de vetores em e, portanto, utilizar números complexos para representar e somar vetores é algo bem natural. No entanto, a maior vantagem em se utilizar números complexos, no lugar e vetores é a multiplicação, não a soma!

Apesar de parecer não fazer muito sentido quando expresso em coordenadas, cartesianas isto é, , neste produto está implícito uma transformação muito importante e útil. Para entender isto, é mais fácil visualisar em coordenadas polares:

Se temos , a multiplicação é nada mais que

Em outras palavras, multiplicar por consiste em rodar de graus em torno da origem e esticar seu comprimento por um fator .

Por exemplo, se temos um ponto e queremos girar ele de um ângulo de , basta multiplicar por :

Feitas estas breves considerações, vamos à resolução do problema.

Solução

No que segue, vamos interpretar os pontos da figura como sendo números complexos, ou seja, pontos no plano complexo. Para isso, suponha que a figura acima está no plano complexo, com a origem coincidindo com o vértice do quadrilátero , i.e., . Defina como sendo os números complexos dados , , e , respectivamente (isto é, são os números que representam os lados do quadrilátero).

Temos, então,

Observe que o ponto pode ser obtido da seguinte maneira: percorremos o lado até a metade, giramos 90 graus e andamos mais a metade do comprimento de . Em termos de operações com números complexos, isto é nada mais que

De maneira análoga, temos

Pondo e , queremos mostrar que e são ortogonais e tem o mesmo tamanho, ou seja, . Para isto, é suficiente mostrar que . Ou seja, basta mostrar que

Agora é só conta!

Logo

Como queríamos roubar... digo, demonstrar.

Até!

Como escrever gótico manuscrito

2010-12-11T22:21:00.000-02:00

Algumas áreas da matemática costumam denotar seus respectivos objetos por letras em alemão gótico. Se você já se perguntou como escrever estas letras à mão, aqui vai um pequeno guia em .pdf:

Letras góticas

A guerra do Cálculo

2010-12-09T19:35:00.000-02:00

Neste post farei um breve review do livro A guerra do Cálculo de Jason Socrates Bardi.

É difícil encontrar alguém que faça, ou já tenha feito, algum curso superior na área de exatas que não tenha ouvido alguma coisa sobre a famosa disputa sobre quem foi o verdadeiro inventor do Cálculo. Nesta contenda intelectual, figuram dois dos maiores gênios que a humanidade já conheceu: o britânico Isaac Newton e o alemão Gottfried Leibniz.

A resposta para a famigerada indagação a respeito da invenção do Cálculo é simples: Newton o inventou primeiro. As coisas começam a ficar complicadas quando descobrimos que, apesar de Newton o ter concebido antes de Leibniz, Leibniz foi o primeiro a publicar suas descobertas sobre esta, até então, nova área da Matemática. Some a isso uma boa dose de arrogância e nacionalismo europeu e terá uma guerra. Nas palavras de um comentário na contra-capa do livro, "a maior disputa sobre propriedade intelectual da história".

As informações acima são bem difundidas e é fácil achar bastante material sobre isto na internet. O trunfo do livro A guerra do Cálculo é pelo enfoque dado pelo autor a esta história. Por exemplo, este livro traz respostas para várias perguntas interessantes como estas

- Porque Newton não publicou o Cálculo assim que descobriu (muitos anos antes de Leibniz)?

- Como, e por que, surgiu esta guerra?

- Leibniz conhecia Newton?

- O que Newton e Leibniz fizeram além de Matemática? E como isso influia em seus trabalhos matemáticos?

- Como se posicionavam os outros matemáticos da época com respeito a esta disputa?

- Por que Newton morreu como um herói nacional e Lebinz terminou sua vida com poucas honrarias?

Esta lista é infindável as suas respectivas respostas podem ser todas encontradas nas páginas do livro de Bardi.

O livro cumpre o que promete no que diz respeito a ir a fundo no contexto social em que estavam inseridos os dois intelectuais supracitados. Porém, queria também deixar registrada uma pequena crítica, ou sugestão. Seria interessante se o autor mostrasse, talvez num apêndice, em linhas gerais como funcionava o Cálculo de Leibniz e de Newton, quais as suas principais semelhanças e diferenças, alguns problemas que eles resolveram na época, etc.

Para finalizar, o livro possui uma extensa bibliografia, com alguns livros comentados e sugeridos para uma leitura posterior sobre o assunto.

Enfim, se você se interessa por História da Matemática, ou História da Ciência de uma maneira geral, é um ótimo livro.

Até.

O Teorema Fundamental da Álgebra (prova diferencial)

2010-11-27T22:40:00.000-02:00

E aí galerinha.

Decidi postar uma prova que eu li no livro do Milnor "Topology from the Differentiable Viewpoint" do teorema fundamental da álgebra usando apenas um pouco de análise, vamos à prova.

Teorema Todo polinômio complexo não constante possui um zero

Prova:

Considere a esfera e a projeção estereográfica

Do pólo norte de . Vamos identificar o plano com o plano complexo. O polinômio que mapeia em si mesmo corresponde a um mapa de em si mesmo.

Afirmação: O mapa é suave.

Para é imediato, para considere a projeção estereográfica em relação a e faça

Observando a fórmula da projeção estereográfica é fácil deduzir que

Então se com é fácil ver que

Logo é suave em e segue que é suave em .

Para terminar note que possui apenas uma quantidade finita de pontos críticos, pois só não é um difeomorfismo local nos pontos onde a derivada se anula e é um polinômio. O conjunto de valores regulares de é portanto conexo já que é uma esfera com um número finito de pontos retirados, logo a função localmente constante , onde é um valor regular é na verdade constante nesse conjunto, como não pode ser zero em todo o conjunto ela é, portanto diferente de zero em todos valores regulares, como obviamente é diferente de zero se é um valor crítico, segue que é sobre e o polinômio possui ao menos um zero.

Legal não?
Então é isso até a próxima.

Antimatéria é capturada pela primeira vez

2010-11-20T22:38:00.002-02:00

E aí galerinha.
Vi uma matéria interessante [piada ruim mode on] ou melhor uma antimatéria uhauha [piada ruim mode off] no site Inovação Tecnológica dêem uma olhada.

Uma equipe internacional de cientistas conseguiu pela primeira capturar átomos de antihidrogênio - a antimatéria equivalente ao átomo de hidrogênio.

"Esta é uma realização fenomenal. Ela vai nos permitir fazer experimentos que resultarão em alterações dramáticas na visão atual da física fundamental ou na confirmação daquilo que nós já damos por certo," afirmou Rob Thompson, membro da colaboração ALPHA, instalada no CERN, na Suíça.

O link para o texto na íntegra segue abaixo

Antimatéria é capturada pela primeira vez

Randall Munroe

2010-11-18T22:07:00.000-02:00

Você já viu o desenhista das comics mais nerds da internet? Veja uma palestra com Randall Munroe, o criador do xkcd.

O teorema de Cantor

2010-11-13T20:13:00.002-02:00

Olá galerinha do LeGauss.

Vou provar nesse post um teorema importante cuja prova consiste somente de um argumento muito inteligente e simples de entender. Vamos lá.

Teorema de Cantor

Obs: Seja um conjunto qualquer denotamos por o conjunto cujos elementos são todos subconjuntos de , além disso denotamos por a cardinalidade do conjunto , uma generalização do conceito de "quantidade de elementos" no conjunto.

Demonstração

Seja . Vou provar que ela não é sobrejetiva (o que por definição resultará no nosso teorema)[1].

Para cada , é um subconjunto de . Seja o subconjunto de X definido por

Então não pertence à imagem de . Pois suponha por absurdo que exista tal que temos que

Que é uma contradição.

Legal não? xD

Até a próxima.

Notas:

[1] Lembre-se que:

existe sobrejeção de em .

existe injeção de em .

existe bijeção entre e .

e não existe bijeção entre eles.

e não existe bijeção entre eles.

Como existe uma sobrejeção óbvia de para basta mostrar que não existe sobrejeção de para o que implicará em particular que não existirá bijeção entre eles.

é irracional

2010-11-07T00:29:00.001-02:00

Enquanto meu outro post não sai, aqui vai uma demonstração bonitinha e fácil. Tudo o que vamos usar são alguns resultados elementares de séries infinitas.

Teorema. é irracional.

Demonstração. Por definição

Suponha, por absurdo, que é racional. Então podemos escrever , com e inteiros e primos entre si. Então

onde

Multiplicando por , temos

Pela expressão acima (a segunda igualdade), é um número inteiro. Mas

Utilizando a fórmula da soma de uma P.G. infinita, temos

Ora, mas é inteiro e está entre 0 e 1 (estritamente), contradição.

Para rir ou para chorar - Parte 11

2010-10-31T03:28:00.000-02:00

Para rir ou para chorar - Parte 10

2010-10-27T23:56:00.001-02:00

Um dia escrevendo umas contas percebi isso, foi muito bizarro huauhauhauh

O Teorema do Ponto Fixo de Brouwer

2010-10-22T23:45:00.012-02:00

Olá galerinha do LeGauss!

Não tenho postado muita coisa já que tenho estudado muito e estou meio sem tempo, mas venho me redimir com esse post. Vou provar assumindo alguns resultados básicos sobre homologia o famoso teorema do ponto fixo de Brouwer, o enunciado diz o seguinte.

Teorema do Ponto Fixo de Brouwer

Qualquer mapa contínuo possui um ponto fixo, isso é existe um com .

Lembrando que

Mas Gabriel, esse teorema é muito bizarro de provar eu não vou enteder p%$&#@ nenhuma não?

Na verdade não, estou fazendo esse post justamente porque acho a demonstração do teorema bem geométrica e fora a teoria que ela utiliza (homologia) ela não é muito complicada. Aliás acho que esse teorema é um ótimo estímulo para se começar a aprender homologia, pois os resultados que eu assumo para prová-lo são bem iniciais.

Para provar o teorema eu vou provar antes um lema utilizando, como eu disse antes, uma teoria básica de homologia. Se você não faz ideia do que é o , o n-ésimo grupo de homologia de um espaço topológico , você tem três opções. Dar uma lida no artigo da wikipedia, ou seguir lendo o texto sem saber o que ele é, pois eu não vou usar a ideia do que é o grupo de homologia, mas acho que isso seria meio chato ou ainda parar de ler isso, pular o lema e talvez ler só a demonstração do teorema assumindo que o lema é verdade. =P

(Se der depois escrevo um post falando um pouco sobre homologia, acho que já falei homologia 15 vezes huahuaha)

Fatos que usarei:

Dois mapas homotópicos e induzem o mesmo homomorfismo nos grupos de homologia de e (o homomorfismo induzido por um mapa contínuo é a imagem por de uma cadeia em basicamente, se você já sabe um pouco sobre grupo fundamental deve sacar bem o que é)

Isso é é igual a .

O outro fato que usarei é que se é apenas um ponto

Similarmente

e para

O til em cima do é só uma bobeira que eu nem vou explicar pois pra

Note que pelo primeiro fato se dois espaços são homotópico equivalentes, i.e. existem duas funções e com e então seus grupos de homologia são isomorfos.

Lema: Não existe retração de em .

Lembrando que uma retração é uma função contínua de para tal que consequentemente se é a inclusão .

Demonstração:

Caso existisse essa retração a composição

Deveria ser a identidade em mas , pois é homotópico equivalente a um ponto. Isso claramente gera uma contradição.

Demonstração do Teorema:

Suponha que exista uma função contínua com para todo . Nós conseguimos definir uma função da seguinte maneira. é o ponto onde a semireta intercepta o bordo de .

Claramente essa função é contínua pois pequenas pertubações em causam pequenas pertubações em pela continuidade de e claramente . Logo ela é uma retração de em , absurdo.

É isso. Os argumentos do teorema são super geométricos e mesmo a prova do lema é bem fácil, só que precisamos de alguns resultados não tão simples da teoria de homologia. =P

Agora você já sabe que enquanto você mexe o seu café sempre tem alguma partícula lá completamente imóvel, huahuauha ou não, matemática é a maior mentira sorte que ela é bonitinha. xD

Espero que tenham curtido.

Abraço.

Para rir ou para chorar - Parte 9

2010-10-09T22:14:00.001-03:00

Uma introdução rápida à teoria de Morse

Pra você que sempre quis conhecer essa teoria tão bonita e útil!

Pera será que eu confundi? =P

Obs: Sempre esqueço da nota explicativa xD

Artigo da wikipedia sobre teoria de Morse

Texto de geometria projetiva e algébrica

2010-10-02T20:34:00.001-03:00

E aí galerinha do LeGauss.

Faz muito tempo que eu não posto, estou bastante ocupado. xD
Mas vim trazer um texto que escrevi sobre geometria projetiva e geometria algébrica (abordada de uma forma mais clássica usando polinômios). Acredito que é uma ótima introdução à geometria projetiva, mas não é uma introdução muito boa à geometria algébrica, pois como eu disse a abordagem é bem clássica. O texto tem como objetivo provar os teoremas de Pappus e de Pascal primeiro usando as ferramentas da geometria projetiva e depois da geometria algébrica.

Os únicos requisitos pra entender o texto são álgebra linear e uma parte bem básica de álgebra, quase nada na verdade.
O texto é um pouco grande, mas acredito que ensina bastante coisa hehe, tem 35 páginas.

Gabriel Martins - Os teoremas de Pappus e de Pascal

Espero que curtam.

Abraço.

Incríveis Passatempos Matemáticos - Divulgação

2010-09-20T22:52:00.003-03:00

Você conhece Ian Stewart? Se você estuda matemática, é provavel que já tenha ouvido falar dele. Além dos livros com conteúdos específicos para universitários em matemática (Análise Complexa, Teoria de Galois, etc.), Stewart é autor de diversos livros de divulgação matemática.

A editora Zahar acaba de trazer mais um destes livros para o Brasil: Incríveis Passatempos Matemáticos.

Uma grande dose de jogos, charadas e histórias tiradas da coleção particular do professor Ian Stewart. O leitor encontrará informações e curiosidades divertidas que não se aprende na escola. Os desafios são entremeados com figuras explicativas, fatos sobre a história da matemática, anedotas sobre cientistas e perguntas sobre os grandes problemas matemáticos do presente, passado e futuro.

A maior prova, contudo, é o autor mesmo quem vence, ao tornar agradáveis e interessantes temas que já nos assustaram (e muito!) em sala de aula. A nova diversão produzida por Stewart é capaz de esclarecer, distrair e abrir horizontes – tanto para os habituados com o assunto quanto para os novatos.

. Descubra!
. Como os códigos são criados e como decifrá-los?
. Por que os gatos sempre caem de pé?
. Por que não conseguimos pentear uma bola cabeluda?
. Os efeitos do aquecimento global são mesmo catastróficos?

---

Segue uma pequena entrevista com Stewart sobre este livro:

O senhor é famoso por disseminar e popularizar a matemática com jogos divertidos. Como o senhor criou esse estilo de escrever e ensinar matemática ou a matéria para o senhor sempre foi algo muito divertido?
Eu comecei a me dar conta de que a matemática podia ser muito divertida, assim como também uma matéria escolar, quando eu tinha 13 ou 14 anos. Eu era bom em matemática e podia fazer os trabalhos de casa e passar nos exames, mas até essa idade eu não tinha um conhecimento mais amplo de como a matemática é, e certamente não tinha conhecimento da existência de jogos de matemática e outros aspectos recreativos. Então, eu comecei a ler a coluna mensal de Martin Gardner, Mathematical Games, na revista Scientifc American, e isso me inspirou a procurar mais material desse tipo. Eu tinha alguns amigos que se sentiam da mesma forma e nós pegávamos um trem para Londres (duas horas de viagem) para comprar livros de matemática.
Meu professor de escola, Gordon Radford, sempre me inspirou, ao ensinar horas extras de matemática para um grupo nosso, fora do currículo usual. Como um universitário, eu editei Eureka, a revista de matemática da sociedade de matemática da universidade de Cambridge. Depois, como estudante de doutorado na universidade Warwick fui um dos editores da Manifold, uma revista de matemática dos estudantes. Então, eu escrevi alguns livros sobre o lado divertido da matemática, fui chamado para escrever uma coluna regular para o Pour La Science (a edição francesa da Scientific American), depois, para a própria Scientific American... e tudo cresceu de forma natural, por sua própria iniciativa.

O senhor cria esses problemas matemáticos diariamente, como parte da rotina, escrevendo depois em cadernos de anotações?
Na minha adolescência eu mantinha uma série de cadernos de anotações – seis deles eu ainda tenho – então eu comecei a organizar o material em pastas e fichários e, em seguida, em armários com gavetas. Nos dias de hoje eu ainda guardo coisas no computador. Eu continuo colecionando matemática divertida e escrevo sobre isso. Eu diria que cerca de um terço dos meus livros nos últimos 20 anos têm sido sobre o lado divertido da matemática. Meu editor sugeriu coletar parte desse material e reunir em um livro, que se tornou o Professor Stewarts Cabinet of Mathematical Curiosities. Esse entrou para a lista de best-sellers em janeiro de 2009. Então, escrevi mais um volume nessa linha. Um terceiro livro para a série já está planejado. Desde então, publico também Cows in the Maze, com a Oxford University Press, que é uma coleção com algumas das minhas colunas para a revista a Scientific American.

O senhor acredita que a matemática pode ser uma espécie de contos de fadas, que você lê para os seus filhos diariamente, como algo divertido e educativo? O senhor fez isso com seus filhos?
Eu conheço algumas pessoas que fazem isso, porque eles me dizem que usam meus livros com esse propósito. E alguns dizem que seus filhos pegam os livros e não querem mais devolver. Nós costumávamos ler muito para os nosso dois filhos, mas permanecíamos na ficção (Dr Seusss Cat in the Hat foi o favorito, minha mulher e eu ainda conseguimos recitar o livro inteiro, palavra por palavra). Não pretendia forçar a matemática para eles, se eles não quisessem! Um se tornou um programador de computador, então, ele usa muita matemática. O outro vende carros usados (cerca de 50 mil carros a cada ano). Ele trabalha para a Peugeot e vende todas as frotas de carros usados que as companhias usam por um ano.
Se mais pessoas mostrassem aos seus filhos o lado divertido da matemática, acredito que uma parcela muito maior ia gostar da matéria na escola.

Para saber um pouco mais sobre o lançamento, acesse o site da própria editora (de onde tirei a sinopse e a entrevista). Lá você também pode encontrar um sumário e um trecho do prefácio.

Por que estou fazendo isso? Ora, porque eu gosto muito de livros de divulgação e acho que uma editora que já trouxe diversos livros muito bons como O Andar do Bêbado, por exemplo, merece um pouco de credibilidade. Confesso que ainda não tive a oportunidade de ler este novo livro do Stewart, mas conheço outros livros na mesma linha deste mesmo autor e todos são muito bons.

May the math be with you.

Para rir ou para chorar - Parte 8

2010-09-13T00:20:00.004-03:00

Breve nos cinemas.

Obs: A ideia foi do Tiago só to postando porque fiz a imagem. xD

Dica para você que não estuda álgebra mas quer rir também, o grupo não é solúvel. =P

História Ilustrada de Fibonacci

2010-09-08T01:37:00.000-03:00

Para quem gosta de história e matemática, aqui vai um belo presente feito por Keith Devlin (autor de diversos livros de dilvulgação de matemática):

http://www.maa.org/devlin/Fibonacci.html

Nas palavras de Devlin:

With summer coming to an end, many people share their summer snapshots with their family and friends. In that spirit, in this month's column I'd like to share some of my summer photographs. Actually, photographs taken over several summers as I traveled to Italy to research a book about Fibonacci. That book will appear some time next year. Meanwhile, if you are interested in vicariously treading in the footsteps of the man who brought modern arithmetic to the West, now is your chance. Along the way, you will likely discover that many of the things you believed about Fibonacci are actually false. (Especially if you learned about them on the Internet. And yes, I am aware of the irony of my making this statement in an online column!)

Aliás, para quem ainda não sabe, Keith Devlin tem uma coluna no site da MAA. Vale a pena.

Uma prova topológica para o Teorema de Cayley-Hamilton - Final alternativo

2010-09-05T01:04:00.001-03:00

No post Uma prova topológica para o Teorema de Cayley-Hamilton mostrei como demonstrar o Teorema de Cayley-Hamilton por continuidade, utilizando uma topologia diferente da usual. Porém, esta topologia é tão diferente que algumas boas propriedades, como ser Hausdorff, são perdidas. Este fato fez com que a demonstração ficasse mais complicada (e mais sutil na parte final) do que era para ser.

Neste post, quero apresentar uma outra forma de contornar o problema. Talvez o argumento que irei utilizar seja menos intuitivo, mas com certeza é mais simples, pelo fato de não precisarmos nos preocupar com separabilidade. Se você não leu o primeiro post, clique no link ali em cima.

Teorema. Seja uma matriz quadrada de ordem , com coeficientes num corpo , e seu polinômio característico. Então

Demonstração. Seja . Como é quadrada, de ordem , podemos enxergar como um elemento de . Além disso, o discriminante de pode ser visto como um polinômio em variáveis avaliado nos coeficientes de , pois os coeficientes de são polinômios em e o discrimininante de é um polinômio nos coeficientes de .

Assim, podemos falar de um polinômio de variáveis chamado discriminante. Se o discriminante de , ou seja , é não nulo, então tem raízes distintas e é diagonalizável. O conjunto das matrizes cujo discriminante de seu polinômio característico é não nulo, é, portanto, , que é aberto na Topologia de Zariski e, consequentemente, denso em .

Considere, novamente, o polinômio característico de . Pensando nos coeficientes de como variáveis, então podemos enxergar como um polinômio de variáveis: os coeficientes e . Avaliando este polinômio em , temos a matriz . Agora, cada uma das entradas de é um polinômio em . Sejam estes polinômios (vou omitir as variáveis para não carregar a notação).

Queremos decidir, então, quais matrizes , i.e., quais elementos de , satisfazem estes polinômios. Em outras palavras, queremos saber quais matrizes estão no conjunto algébrico . Mas já sabemos que . Como é denso em e é fechado, então .

Note que, apesar de não utilizarmos nenhuma função contínua nesta demonstração (em contraponto com a outra), ainda estamos nos aproveitando de um argumento de continuidade, pois dizer que é denso em é dizer que toda matriz está arbitrariamente próxima de uma matriz diagonalizável.

Utilizando esta mesma ideia deste post, você também pode resolver o desafio do primeiro post de uma maneira mais fácil.

A arte de simplificar um problema

2010-08-21T17:57:00.002-03:00

Uma das peculiaridades que mais me encantam na Matemática são as soluções criativas e simples para algum problema aparentemente complicado. Não que este atributo seja um privilégio da Matemática, em diversas outras áreas do conhecimento insights são não apenas desejáveis como essenciais. Sendo assim, desejo exemplificar o que acabei de mencionar com um problema simples, retirado de uma famosa anedota entre os matemáticos. Se você está curioso, a anedota fica para o fim deste texto.

O problema

Dois trens, a uma distância inicial de 200 quilômetros, movem-se um em direção ao outro, ambos com velocidade constante de 50 quilômetros por hora. Uma mosca, começando na frente de um dos trens, voa até atingir o outro trem e depois repete o mesmo movimento (voltando para o primeiro trem, e depois indo para o segundo, etc) a uma velocidade constante de 75 quilômetros por hora, até os trens se chocarem. Qual é a distância total que a mosca percorreu?

1. Solução Direta

Façamos um pouco mais geral. Seja a distância inicial entre os trens, a velocidade dos trens e a velocidade da mosca. Seja o tempo decorrido após o primeiro vôo da mosca, i.e. após ela ter saído do primeiro trem e ter chegado ao segundo. Então, (pensando a posição inicial do primeiro trem como e a do segundo como no eixo horizontal)

Assim, a mosca percorreu

Além disso, agora os trens se encontram a uma distância . Mais geralmente, após o vôo da mosca, temos

Substituindo na última expressão,

Logo e, portanto, a mosca percorreu uma distância total de

Substituindo nossos valores, chegamos em quilômetros.

2. Solução Criativa

Ora, como ambos estão a uma velocidade de 50 quilômetros por hora, os trens se chocam após 2 horas. Nestas duas horas, a mosca voou sem parar, e portanto percorreu uma distância total de quilômetros.

A anedota

Conta-se que o matemático John Von Neumann era uma calculadora em pessoa, realizava cálculos longos e difíceis mentalmente numa fração de segundos. Certa vez, propuseram este problema para Von Neumann que rapidamente respondeu ``150 quilômetros"! Então a pessoa que propôs o problema disse: ``Estranho, normalmente, todo mundo tenta somar a série infinita''. Foi então que Von Neumann respondeu: ``Como assim, estranho? Foi exatamente isto que eu fiz!''.

Playstation 3 desbloqueado

2010-08-20T11:18:00.003-03:00

Se você costumava rir dos poucos usuários de PlayStation 3 por eles terem que pagar mais de R$ 150 por um jogo qualquer, seus dias podem estar acabando.
Anunciado, e já em pré-venda, o método de destravamento do PS3: PS3 JailBreak

Com simples pendrive, já programado para o PS3 com o último firmware (versão 3.41), você pode fazer o backup dos seus jogos de PS3, não funciona com filmes em blu-ray, DVD e outros, em um HD externo e você está pronto para usufruir de seu PS3 sem se preocupar com riscar os discos ou perder a mídia............OK, todos já sabem que isso vai ser usado para pirataria!

O pendrive, que este autor prefere não informar onde está disponível a pré-venda, é apenas necessário plugar ele no PS3 e em segundos instalar o aplicativo. Não há mais segredos sobre seu funcionamento, lógico que ninguém ainda informou qual foi a falha encontra, mas já existe especulações de que Sony iria desativar as portas USB para prevenir o uso deste recurso, este autor acha isto remotamente impossível de acontecer.

Notícia Expressa: Medalha Fields 2010

2010-08-20T10:18:00.000-03:00

"The International Mathematical Union (IMU) presented seven prizes during the opening ceremonies of the International Congress of Mathematicians (ICM) in Hyderabad, India. The opening ceremonies were inaugurated by Indian President Pratibha Devisingh Patil. Also during the meeting, IMU elected its first woman president, Ingrid Daubechies (Princeton University).

The Fields Medal, which comes with a $15,000 honorarium, is awarded every four years to at most four mathematicians."

Clique aqui para saber quem foram os ganhadores.

Para rir ou para chorar - Parte 7

2010-08-10T18:04:00.000-03:00

Entenda aqui. Dica do Rafael Ando.

O teorema do Fecho-Complemento de Kuratowski

2010-08-06T21:17:00.006-03:00

Olá galerinha do LeGauss!

Vou postar hoje a demonstração de um teorema muito interessante e que só exige um pouquinho de topologia e menos ainda de álgebra para entender. =P

O teorema é o seguinte:

Seja um espaço topológico e . É possível obter no máximo conjuntos diferentes tomando fechos e complementos de . Além disso existe um espaço topológico onde esse limite é atingido.

Para a prova vamos considerar o fecho e o complemento como operadores agindo no conjunto de subconjuntos de . Vamo denotá-los por

Repare (ou verifique) que podemos escrever o interior de utilizando essa notação. (o interior polui o ar? \piadaruimmode on).

É fácil ver também que o conjunto de todos os operadores gerados por e com a operação de composição é um monoide, pois a composição é uma operação associativa e a identidade (o operador identidade) está nesse conjunto pois , chamaremos esse monoide de e costumamos chamá-lo de monoide de Kuratowski.

É possível induzir uma ordem parcial nesse monoide. Dizemos para que , se para todo temos . Além disso chamamos um operador de isotônico se (note que o operador fecho é isotônico).

Depois dessas ideias vamos agora à demonstração de verdade.

Demonstração:

Como e , os elementos em são da forma

e
Isso é, eles não vão ter nenhum fator nem com potência maior que , pelas relações que mencionei, além disso eles se encaixam em um dos quatro grupos, começa em e termina em , começa em e termina em , etc.

Queremos mostrar que e isso nos dará o limite superior de , pois os operadores restantes serão

Note que , pois é o interior de . Como é isotônico, segue que . Para a desigualdade contrária repare que , pois é o interior de . Logo . Mas então temos e . Isso prova que . Como queríamos.

Para terminar a prova basta mostrar um conjunto num espaço topológico tal que todos aqueles operadores geram conjuntos distintos quando agem sobre ele. Nesse caso o conjunto

Em com a topologia usual, funciona.

Bizarro não? Esse teorema deixou muita gente pensativa a respeito do porquê desse número aparentemente aleatório. Muita coisa foi feita em direção a saber quando espaços topológicos possuem um conjunto que realiza esse número, etc.
O artigo que coloco aqui embaixo (que foi de onde eu tirei a demonstração) fala sobre muitas coisas mesmo a respeito desse problema.

É isso espero que tenham curtido!
Até

Referências:

B. Gardner, M. Jackson - Kuratowski Closure-Complement Theorem

A série 1/p diverge

2010-07-27T09:02:00.007-03:00

Olá galerinha do LeGauss.

Vou postar hoje um resultado muito legal e importante da teoria de números que nos fala um pouco sobre a "densidade" dos números primos entre os números naturais, se é que isso faz sentido assim solto.

O que quero dizer é: Sabemos que a série diverge, mas que por exemplo a série converge. Ou seja em certo sentido ao deixarmos só os números naturais que são quadrados nos denominadores da nossa série, nós tiramos muitos números, tantos, que a nossa série antes divergente agora converge.

O teorema que vou provar agora mostra que deixar só os primos nos denominadores ainda deixa nosso conjunto de números gordinho. hehe

Teorema:

A série com percorrendo todos os números primos, diverge.

Preliminares:

Para provar esse teorema vou utilizar certas coisas que não vou provar, por sorte algumas delas tem aqui no nosso blog. o/

[1] Existem infinitos primos! O Euclides, malandrão que era, provou isso, por sorte o Tiago já fez um post comentando a prova do Euclides e com uma prova diferente e muito legal usando teoria de grupos. Veja o post aqui.

[2] A série diverge, se você não sabe isso ainda veja aqui nesse wiki que tá bem explicadinho.

[3] A série converge. Em um post comentei a convergência dela, mas fiz mais que isso eu calculei para onde ela convergia, vale a pena ver se ainda não viu. Veja o post aqui.

[4] A fórmula infinita da PG. .

[5] O último fato é a expansão de Taylor da função . Na verdade a gente obtém essa fórmula expandido em taylor a função ao redor de e fazendo uma mudança de variáveis. A fórmula é.

Vamos à demonstração:

Demonstração:

Sejam os primos menores que , definimos .
Como , vemos que

Onde as -tuplas cobrem todas as combinações de naturais (incluindo o zero).

Vemos também em particular que

Logo, quando , . E isso é ainda outra prova de que existem infinitos primos.

Agora, vamos olhar para .

Agora precisamos notar que . Essa última desigualdade não é tão imediata de enxergar teste com o primo igual a e e você vai ver o porque daquele que apareceu na desigualdade final.

Então temos

Sabemos que a série converge o que nos da a desigualdade

Com uma constante arbitrária (a desigualdade valendo para qualquer ). Temos que nossa série é maior que uma coisa ilimitada, logo ela é também ilimitada.

E isso acaba nossa demonstração.

Espero que tenham curtido.
Abraço.

Referências:

Ireland e Rosen - A Classical Introduction to Modern Number Theory

Joguinho da cobrinha no Youtube

2010-07-24T18:38:00.002-03:00

Depois da vuvuzela nos vídeos do Youtube, mais um coisa um tanto inusitada foi descoberto recentemente: joguinho da cobrinha no meio dos vídeos do Youtube!

Vamos lá então, como fazer:

- Pegue um vídeo que seja de categoria Jogos (preferencial) ou Entreterimento
- Depois de começar o vídeo, clique na tela do vídeo (não no botão play/pause) duas vezes, para fazer o vídeo pausar e continuar
- Aperte AO MESMO TEMPO as setinhas da esquerda e direita no teclado normal
- Parabéns você está jogando agora

Agora o que vocês podem me perguntar: Por que eu iria querer jogar isso no meio de um vídeo?
Simples.
Se for um vídeo que deve ser apenas ouvido (estranho mas existem) ou se está numa parte muita chata, é só ativar o joguinho e pronto!

Uma prova topológica para o Teorema de Cayley-Hamilton

2010-07-20T18:00:00.009-03:00

O Teorema de Cayley-Hamilton é bastante conhecido e muito usado em Álgebra Linear. Existem diversas formas de demonstrá-lo, mas na minha humilde opinião, a que apresentarei aqui é a mais bonita. Neste artigo, usarei um corpo genérico , que você pode pensar como ou , se preferir. Este teorema pode ser enunciado da seguinte forma:

Teorema. Seja uma matriz quadrada de ordem , com coeficientes num corpo , e seu polinômio característico. Então

Uma possível forma de começar a atacar este teorema é provando-o para casos particulares. Para matrizes diagonais, a demonstração é trivial. O próximo passo seria mostrar para matrizes diagonalizáveis:

Demonstração para matrizes diagonalizáveis. Se é diagonalizável, então temos uma base de autovetores de . Se , então o polinômio característico de se fatora como

Assim, é claro que cada anula a matriz . Como é base, então .

No entanto, a partir daqui é difícil generalizar a demonstração para qualquer matriz. Resolveremos este problema usando continuidade. Para tanto, usaremos uma topologia pouco conhecida mas muito utilizada em Álgebra, a Topologia de Zariski. Admitiremos, a partir daqui, um pouco de conhecimento sobre topologia básica e teoria de anéis (basicamente, familiaridade com ideais).

Se você não conhece a topologia de Zariski, veja aqui o artigo do Gabriel. A demonstração do Teorema de Cayley-Hamilton utilizando esta topologia é bem simples e curta, mas precisaremos de alguns resultados simples que provarei em seguida. Vamos denotar por , isto é, o conjunto dos pontos de que não se anulam em algum polinômio de e, se denotaremos onde é o ideal gerado por .

Propriedades da Topologia de Zariski. Seja o espaço afim de dimensão . Temos:
(a) Os conjuntos , com , formam uma base para a topologia de Zariski em .
(b) Todo aberto na topologia de Zariski é denso.
(c) Qualquer função que é polinomial em cada coordenada é contínua em relação à topologia de Zariski.

Demonstração. (a) Basta ver que, para ideal de ,

Obs: Além disso como todo ideal de é finitamente gerado, pelo Teorema da base de Hilbert, todo aberto é compacto! Note que isso é bem surpreendente, pois, em espaços Haussdorff, compactos sempre são fechados.

(b) É suficiente mostrar a afirmação para a base desta topologia. Considere, então, com e tome . Temos que mostrar que é ponto de acumulação de . Para isso, suponha contendo onde . Agora basta notar que

Logo, como (prove!), existe . Claramente, e segue o item (b).

(c) Novamente, basta mostrar para uma base da topologia. Dizer que é polinomial em cada coordenada é dizer que, para ,

onde . Considere o aberto com . Denotando por , temos que

Agora basta observar que , para

Assim, é aberto e, portanto, é contínua.

Precisamos de apenas mais um pré-requisito: a noção de discriminante de um polinômio. Este conceito generaliza aquele das equações de segundo grau. Dado um polinômio , o discriminante de é dado pela expressão

onde é alguma constante não nula (que depende dos coeficientes do polinômio mas não nos interessa aqui) e os 's são as raízes de . Assim, é imediato ver que tem raízes múltiplas se, e somente se, o discriminante de se anula. O discriminante também pode ser definido como o determinante de uma matriz bem grande cujas entradas são coeficientes do polinômio. Lembre-se disso.

Agora estamos prontos para a nossa demonstração do Teorema de Cayley-Hamilton como uma brilhante aplicação da Topologia de Zariski. Como esta topologia não é familiar a muita gente, tentarei fazer esta demonstração bem detalhada.

Demonstração topológica do Teorema de Cayley-Hamilton. Seja . Como é quadrada, de ordem , podemos enxergar como um ponto em . Além disso, o discriminante de pode ser visto como um polinômio em variáveis avaliado nos coeficientes de pois os coeficientes de são polinômios nas entradas de e o discrimininante de é um polinômio nos coeficientes de [1].

Assim, podemos falar de um polinômio chamado discriminante [2]. Se o discriminante de é não nulo, então tem raízes distintas e é diagonalizável (e já sabemos que o teorema vale para este caso!). O conjunto das matrizes cujo discriminante de seu polinômio característico é não nulo, é, portanto, , que é aberto na Topologia de Zariski e, consequentemente, denso em . Agora, considere o mapa

Note que é contínua pois é polinomial em cada coordenada de . Como, para toda , temos que e é denso, então para qualquer matriz de ordem [3].

Supimpa, não? A história não para aqui. Você pode aproveitar estas ideias e brincar de demonstrar teoremas de Álgebra Linear usando a Topologia de Zariski, ela é extremamente poderosa para isso. Tente fazer o seguinte desafio:

Desafio. Utilizando ideias similares à prova anterior, mostre que dadas duas matrizes, de ordem , e quaisquer, tem-se que o polinômio característico de é igual ao polinômio característico de .

Desta forma, espero que, assim como eu, você tenha aprendido uma grande lição:

Mensagem de Sabedoria

"Se as coisas estão difíceis e parecem não ter solução, lembre-se: você pode estar utilizando a topologia errada"

E uma ótima piada:

Notas:

[1] Se você não entendeu essa parte, lembre-se do "lembre-se disso".

[2] Para ilustrar, façamos o caso . Se

então

e que podemos considerar como o polinômio

avaliado em . Note que o polinômio acima é sempre o mesmo para qualquer matriz .

[3] Update! O Gabriel fez uma observação muito pertinente. Temos que tomar um pouco de cuidado ao afirmar que se duas funções contínuas coincidem num denso, então elas são iguais. Em geral, isto vale quando o contra-domínio é Hausdorff. No nosso caso, o contra-domínio está munido da topologia de Zariski, que não é Hausforff. Segue o argumento do Gabriel:

"No entanto, a topologia de Zariski em é T1. Além disso, vale sempre num subconjunto denso. Usando o fato da topologia ser T1, temos que é fechado, logo, como é contínua, é fechado e, mais, contém um conjunto denso. Logo é o domínio inteiro."

Introdução à topologia de Zariski

2010-07-19T23:02:00.003-03:00

Olá galerinha do LeGauss.

Hoje vou postar sobre uma coisa importante em geometria algébrica e que na verdade só estou postando porque vai servir de requisito para um próximo post do Tiago.

Mas não deixa de ser interessante por si só! =P

Definimos primeiramente sobre um corpo o espaço afim de dimensão :

Basicamente esse é o espaço , porém é apenas um conjunto, não possui estrura de adição, nem espaço vetorial etc, nem pontos especiais.

Sobre esse conjunto definimos subconjuntos que chamamos conjuntos algébricos, eles estão na verdade relacionados a ideais no anel de polinômios , e formam curvas, superfícies e hipersuperfícies no espaço afim.

Mais precisamente dado um ideal , associamos a ele o conjunto algébrico

E agora vou escrever umas propriedades importantes sobre esses conjuntos algébricos.

(1)
(2)
(3)

Essas afirmações são razoavelmente imediatas da definição, vocês podem formalizar se quiserem, não deve ser muito difícil.

Essas 3 afirmações nos mostram que os conjuntos algébricos possuem todas as propriedades que os fechados de uma topologia possuem.

Podemos então definir uma topologia em onde os fechados são os conjuntos algébricos (e os abertos seus complementares).
Essa é a chamada topologia de Zariski.

Basicamente é isso, esperem até o próximo post para ver que tipos de coisas podemos fazer com essa topologia. xD

Referências:

Para ler mais sobre isso recomendo o livro do Fulton upado na nossa pasta ainda não inaugurada. (esse livro está disponível online no site do Fulton também.)

Ou o Elementary Algebraic Geometry do Klaus Hulek.

Para rir ou para chorar - Parte 6

2010-07-17T23:03:00.004-03:00

Para rir ou para chorar - Parte 5

2010-07-15T11:24:00.000-03:00

Multiplicando inteiros com Fast Fourier Transform - FFT

2010-07-10T23:49:00.000-03:00

Aviso: O objetivo destas notas não é fornecer um algoritmo para multiplicar inteiros e, sim, explanar de maneira concisa (e não muito detalhada) o embasamento teórico desta aplicação do FFT.

Você pode entender os computadores modernos simplesmente como grandes e poderosas calculadoras. A capacidade de memória e a velocidade com que estas máquinas realizam cálculos gigantescos é realmente incrível. Por trás disso tudo, existe muita matemática e engenharia. Se você já procurou entender como que um computador realiza seus cálculos, deve ter notado que existem ideias simples e geniais por trás de seus algoritmos.

Mesmo assim, o advento da criptografia RSA (só para dar um exemplo), exigiu que pudéssemos trabalhar com números inteiros muito grandes. Muito grandes mesmo! Para ter uma ideia, dê uma olhada na lista dos maiores primos de Mersenne conhecidos atualmente e você terá uma noção da ordem de grandeza destes números. Estamos falando de milhões de dígitos. A coisa é tão feia que, para esrever um programa que realize operações com estes números, é preciso utilizar uma biblioteca especial (existem várias bibliotecas com este propósito).

Mas o problema é mais em baixo. Multiplicar dois números é um processo extremamente custoso para um computador! Acredite, se você utilizar um algoritmo comum para multiplicar dois números com a ordem de grandeza mencionada anteriormente, terá que esperar sentado durante um bom tempo. Vamos entender mais ou menos o porquê.

Sejam e dois inteiros de dígitos, representados na base (usualmente, num computador, ). De forma geral, o produto de por é dado por

Assim, para computar o produto temos de realizar cerca de (isto é ) multiplicações entre os coeficientes da representação de e na base e depois somá-las da forma adequada. Assim, efetuar o produto "usual'' entre dois inteiros num computador se torna um processo extremamente lento quando é grande. Para contornar esta situação vamos apresentar a matemática por trás de um algoritmo para multiplicar inteiros cuja complexidade é da ordem de . Existem outros algoritmos, mas este é um dos melhores.

Para compreender o que segue você precisará saber (se você não sabe, o Google sabe, use-o!):

Álgebra Linear. Por exemplo, você deve saber o que é uma Matriz de Vandermonde, ortogonalidade e produto interno de vetores com entradas em .
Raízes da unidade.
Complexidade de algoritmos (pouca coisa, basicamente só saber o que é Big O).

Lema. Dados pontos em com abscissas distintas, só existe um único polinômio de grau tal que o gráfico passa por estes pontos.

Demonstração. Expresse os pontos como solução de um sistema linear onde as incógnitas são os coeficientes do polinômio. A matriz deste sistema será uma Matriz de Vandermonde invertível.

Em outras palavras, dados , o lema acima nos diz que, se conhecemos com , para um polinômio de grau , então, de alguma forma, conhecemos os coeficientes de Resta saber que pontos escolher. Esta é a ideia central da Transformada Discreta de Fourier (FFT).

Seja , . Definimos a matriz por

No lema seguinte, se é uma matriz complexa, denota a transposta conjugada de (isto é, a matriz adjunta).

Lema. A matriz complexa como definida acima é uma matriz ortogonal. Além disso, .

Demonstração. Primeiramente, note que

Denote a coluna de por . Se , então é dado por

pois . Note que o denominador pois . Por outro lado, .

A multiplicação de inteiros pelo FFT consiste em escolher uma base para representar estes inteiros e interpretar os dígitos como coeficientes de um polinômio. Digamos então que nossos inteiros são representados por e e realizamos a multiplicação . Com algumas ressalvas, os coeficientes de serão os dígitos da multiplicação dos inteiros (na realidade, os coeficientes do produto podem, eventualmente, ser maiores que a base e teríamos que rearranjar os coeficientes). Suponha que o grau de seja menor que ; para determinar , faremos

para 's distintos. Estes 's serão justamente as -ésimas raízes da unidade. Se organizarmos os coeficiente de (recip. ) num vetor (recip. ), então avaliar o polinômio nos 's é o mesmo que realizar a multiplicação

A priori faremos multiplicações novamente, mas o truque consiste em fatorar de forma a realizar menos multiplicações, é exatamente a isto que damos o nome de Transformada Rápida de Fourier (ou FFT, em inglês).

Antes de exibirmos a fatoração, façamos algumas definições. Para , denotaremos por a matriz de permutação que, aplicada num vetor, posiciona todas as coordenadas ímpares nas primeiras entradas e depois as pares, isto é

Por exemplo, para , a matriz é da forma

Se é par, e é como acima (isto é, ), definimos

Feito isto, temos o grandioso

Teorema. Seja e , para algum , então

onde é a matriz identidade de ordem e

Demonstração. Seja , com . Vamos mostrar que

Multiplicando por , obtemos

Agora, se e , então

Por fim, se , então (note que e, assim, )

Observação 1. Talvez você tenha notado que, para a demonstração deste teorema, não precisamos do fato de ser uma potência de 2, bastaria que fosse um número par. Isto realmente não é necessário para esta demonstração. Porém, na prática, o algoritmo é repetido diversas vezes e o tamanho das matrizes é sempre dividido pela metade, assim, sempre trabalhamos com alguma potência de 2 suficientemente grande.

Observação 2. Para sentir como funciona a coisa, tente fazer um exemplo para . Isto é, monte a matriz (neste caso ) e depois fatore ela segundo o teorema acima.

Em princício, para multiplicar por um vetor temos de realizar multiplicações. Mas, após fatorar , temos agora que realizar apenas

multiplicações, pois não precisamos contar a matriz de permutação, nem as matrizes identidade, e só precisa ser contada uma vez. O próximo passo seria repetir um processo análogo e fatorar as duas matrizes . Como é uma -ésima potência de 2, podemos repetir esta fatoração vezes e, assim, reduzimos drasticamente o número de multiplicações, como mostrará o teorema a seguir. É isso que torna o FFT um algoritmo tão eficiente.

Teorema. Nas condições do teorema acima, o número de multiplicações realizadas é .

Demonstração. Na realidade, após realizar o processo vezes (este não é arbitrário, lembre que ) faremos exatamente multiplicações. Existem diversas formas de realizar este cálculo. Aqui, vou utilizar o jeito mais ingênuo possível. Começamos com multiplicações. Seja o número de multiplicações realizadas após fatorarmos vezes. Assim,

[1ª interação]
[2ª interação]
[3ª interação]
...

Já dá para ter uma ideia do que está acontecendo. Por indução, é fácil mostrar que . Iremos parar justamente na -ésima interação, pois estamos sempre dividindo por . Logo

Opa, algo está errado, não chegamos ao que queríamos! Mas a conta está certa; o fato é que, depois de realizarmos operações, a matriz dos 's será uma matriz identidade, pois, no final, teremos somente em todas as entradas da diagonal. No entanto, está contando esta matriz, mas é claro que não precisamos contá-la, pois ela não faz nada. Logo a complexidade final é dada por .

O próximo problema seria achar a tranformada inversa, ou seja, obter os coeficientes do polinômio resultante da multiplicação. Em geral, inverter uma matriz é um processo custoso, mas inverter é fácil, pois um dos primeiros lemas acima nos garante que ela é ortogonal e, mais que isso, sua inversa é dada por . Como sabemos fatorar de forma eficiente, realizamos um processo análogo para fatorar a sua transposta conjugada e, assim, obter a multiplicação de dois inteiros numa velocidade de ordem .

Isto é tudo. A Transformada Discreta de Fourier tem inúmeras outras aplicações que, por hora, fogem do propósito deste post. Se você se interessou e quer saber um pouco mais sobre o assunto, seguem alguns links (todos em inglês): Video Aula sobre FFT de Gilbert Strang, Discrete Fourier Transform, Fast Fourier Transform, Livro online sobre Transformada Discreta de Fourier.

Referências:

- "Introduction to Linear Algebra'', Gilbert Strang.
- "Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes)'', Carlos Gustavo T.A. Moreira e Nicolau C. Saldanha.

Um problema legal da Putnam

2010-07-08T20:04:00.012-03:00

Olá, vamos direto ao problema:

Diga se a série converge, e se sim diga para qual valor.

Vamos à solução:

Vou criar umas variáveis e fazer umas contas que no final vão dar muito certo.

Sejam e . Vamos utilizar a famosa identidade trigonométrica.

Tomando dos dois lados da equação e fazendo e (lembrando também que e ).

E isso transforma nossa série aparentemente bizarra em uma série telescópica.

Vamos olhar a soma dos 5 primeiros termos por exemplo.

Isso já nos da uma boa (boa o suficiente para mim) dica do que está se cancelando.
Seja então

Podemos deduzir que:

E isso acaba o problema.
Espero que tenham curtido. Até

IBM está mudando para Firefox como browser padrão

2010-07-07T08:00:00.002-03:00

Dr. Robert S. Sutor, também conhecido como Bob Sutor, atual Vice-president da IBM, escreveu em seu blog que a IBM está colocando um novo software padrão para todos os mais de 400.000 funcionários da IBM: Mozilla Firefox.

Só para um resumo da notícia, ele diz estar seguindo as políticas que à anos a IBM segue de softwares open-source e que Firefox consegue ser um navegador que é desenvolvido por milhares de pessoas, é seguro, fácil de personalizar e rápido.

Acho que todos já deveriam estar seguindo tal exemplo faz tempo, eu pelo menos estou desde o Firefox 1.4, e vocês, vão contrariar a IBM ou vão ficar à favor dela?

Post do blog original: http://www.sutor.com/c/2010/07/ibm-moving-to-firefox-as-default-browser/

Polinômios não solúveis por radicais

2010-07-02T22:33:00.010-03:00

Olá galerinha do LeGauss

Vou provar um resultado legal nesse post que exige um pouco de teoria de Galois para entender (mais específicamente entender a correspondência de Galois).
Peço desculpas àqueles que não tem ainda a teoria para entender o post (de repente tentar ler é um bom estímulo para aprender essa teoria tão legal).

O teorema é o seguinte:

Teorema: Seja um polinômio irredutível de grau , primo, em . Se possui exatamente duas raízes não reais, então, se é o corpo de fatoração de temos que,

Notações:

:= Conjunto das raízes de .
:= grupo de automorfismos da extensão
:= grau da extensão.
:= Ordem do grupo .
:= SEMPRE é um primo. =P

Antes vamos provar um pequeno lema.

Lema: é gerado por qualquer transposição e qualquer -ciclo.

Demonstração: Depois de renomear os elementos podemos supor que a transposição é , e podemos escrever o -ciclo de forma que ocorra na primeira posição, . Sabemos que alguma potência de leva em , e sabemos que também será um -ciclo (usando o fato de que é primo), como , podemos então supor que desde o início. Depois de renomear os elementos novamente temos que .
Agora sabemos que.

Logo, todas as tranposições estão em , mas as transposições geram para qualquer .

Portanto .

Vamos à prova do teorema em si.

Demonstração: Seja e . Como é irredutível, , como ~~pelo teorema de jigglypuff~~ , pois é Galois.

Pelo teorema de Cauchy, existe um elemento em de ordem , mas os únicos elementos de ordem em são -ciclos (a ordem de uma permutação é o mmc dos comprimentos dos ciclos disjuntos que compõem ela). Isso é, existe , um -ciclo agindo nas raízes de .

Seja a conjugação complexa em ( é claramente um -automorfismo). fixa todas as raízes de , menos as complexas, essas ele troca.

Então , possui um -ciclo e uma transposição. Logo .

É um fato da vida que não é solúvel.

E um outro teorema, bem importante, da teoria de Galois diz que um polinômio é solúvel por radicais (i.e. suas raízes podem ser expressas por somas, multiplicações, divisões, radiciações, etc, finitas de números no corpo de base) se e somente se, o grupo de automorfismos do seu corpo de decomposição é solúvel.

Ou seja esse teorema mostra um jeito fácil de saber se o um polinômio não é solúvel por radicais.

É isso, espero que tenham curtido!
Abraço.

Acho que... provavelmente, hm... deixa pra lá.

2010-06-29T16:19:00.000-03:00

Saiu um texto muito legal na Science News que eu gostaria de compartilhar aqui.

I have two children, one of whom is a son born on a Tuesday. What is the probability that I have two boys?

Gary Foshee, a puzzle designer from Issaquah, Wash., posed this puzzle during his talk this past March at Gathering 4 Gardner, a convention of mathematicians, magicians and puzzle enthusiasts held biannually in Atlanta. The convention is inspired by Martin Gardner, the recreational mathematician, expositor and philosopher who died May 22 at age 95. Foshee’s riddle is a beautiful example of the kind of simple, surprising and sometimes controversial bits of mathematics that Gardner prized and shared with others.

O texto completo pode ser lido aqui.

Temas como esse sempre geram muita discussão, é só ver os comentários do texto acima. É por essas e outras que acho probabilidade muito interessante, mas fico com a sensação de que há algo errado com ela. ;-)

Obs.: O marcador "random" foi colocado neste post só por causa do trocadilho.

Um limite LeGauss de novo

2010-06-24T20:09:00.009-03:00

Olá galerinha do LeGauss.
Vou mostrar hoje um problema divertido e com uma solução geométrica roubada sem querer ser redundante. =P

O problema é o seguinte:

Seja , os pontos inteiros dentro (estritamente) da circunferência de raio e seja sua cardinalidade (a quantidade de elementos lá dentro).

Qual o valor de ?

Vamos à solução!

Veja que olhar para a cardinalidade de é a mesma coisa que olhar para a área da figura formada pela união de todos os quadradinhos formados da seguinte maneira.
Para cada

Pois eles tem a área igual a e somar suas áreas é exatamente a mesma coisa que contá-los.

Agora dê uma olhada nessa figura para entender a demonstração, as circunferências abaixo tem raios , mas desenhei elas todas do mesmo tamanho de propósito.

Note que o que estamos fazendo na verdade é aproximando a área da circunferência por quadradinhos cada vez menores (ao menos em relação à circunferência). É exatamente o mesmo jeito que calculamos as áreas com a integral de Riemann, porém em vez de diminuirmos os lados dos quadradinhos estamos aumentando o raio da circunferência.

Logo para .

E

Legal não? xD
Espero que tenham curtido.
Até

Quem é esse pokémon Chuck Norris?

2010-06-22T08:02:00.002-03:00

Você está certo Chuck Norris...SEMPRE certo!

O volume da bola e esfera unitária n-dimensional

2010-06-19T18:14:00.005-03:00

Olá galerinha do LeGauss.

Hoje vou provar um resultado meio bizarro e que o único requisito para seu entendimento é um pouco de cálculo III (só a ideia de integrais múltiplas) e uma boa visão geométrica das coisas que vão acontecer.

Vamos determinar o volume da bola unitária e a área da esfera unitária .

Vamos à prova.

Notações:

Esfera de raio em

Área de

Área da esfera unitária em

Não confunda com !

Área e volume são nomes que funcionavam bem em mas na verdade estamos falando da medida de objetos k-dimensionais, para uma dimensão k-qualquer, mas vou continuar falando, para ajudar na compreensão do texto, da área de e do volume de .

Comecemos.

Seja , . Vamos tentar tirar algumas coisas da integral dessa função sobre .

Note que:

Ou seja estamos olhando para as integrais dessa função sobre as cascas esféricas de raio deixando variar de a .

Como nossa é constante em cada pois ela só depende de temos que:

As coisas estão começando a ficar mais bonitinhas. =]

Veja agora que .
Você pode enxergar isso de duas formas.

Como a razão de semelhança, pois a área da esfera (- dimensional) de raio é só a área da esfera unitária multiplicada pela razão de semelhança.
Como o raio é esticado pela razão .
A "coisa" - dimensional tem que ser multiplicada por .

Se isso não te convence, você pode formalizar esse pensamento pois essa razão de semelhança na verdade vai ser o jacobiano da transformação de mudança das variáveis cartesianas para as variáveis polares e depois de mais trabalho você vai chegar na mesma coisa que eu disse antes.

Então temos que:

Podemos calcular se em vez de integrarmos em , integrarmos em a bola de raio e fazermos .

Primeiramente temos:

Coisa que provei nesse post.

Além disso olhemos para a famosa função Gamma de Euler:

Ela parece com a expressão que tínhamos. Fazendo uma substituição Achamos que:

Assim temos:

Temos que:

Logo:

Calculando o volume da bola unitária:

E acabamos!
Note que tendo essas áreas e volume conseguimos calcular a área e o volume de uma esfera/bola de raio qualquer usando a razão de semelhança (jacobiano).

Espero que tenham curtido.
Até a próxima.

Notas:

[1] Eu não falei nada sobre a convergência de (note que ela é uma integral imprópria e poderia divergir) mas ela converge . Quem sabe não falo um pouco dela em um post futuro.

Super Mario no violino

2010-06-18T13:17:00.001-03:00

Dell diz que Ubuntu é mais seguro que Windows

2010-06-16T12:00:00.000-03:00

A Dell tem uma página especial para falar das vantagens do Ubuntu. O sexto item diz:

6) Ubuntu is safer than Microsoft^® Windows^®

The vast majority of viruses and spyware written by hackers are not designed to target and attack Linux.

Em tradução livre: Ubuntu é mais seguro que o Microsoft Windows - A maioria dos vírus e spywares escritos por hackers não são projetados para atacar o Linux.

Infelizmente a Dell não vende notebook com Linux aqui no Brasil (eu, pelo menos, procurei na página da Dell no Brasil e não encontrei nada, somente Windows...). É muito estranho uma empresa que apóia o Linux só permitir a venda em um país. Porém, graças a esse apoio que a Dell fornece lá, os computadores da Dell são compatíveis com Linux. Já instalei Ubuntu em um Dell é funcionou quase tudo de cara, faltando apenas instalar um pacote para fazer funcionar a placa wireless, mas nada comparado as soluções mirabolantes que alguém tem que se submeter ao instalar Linux em uma máquina antiga e onde o fabricante não libera os drivers para outro sistema que não o windows.

O problema do barco

2010-06-13T17:53:00.001-03:00

Na beira de um lago, há um garoto brincando com seu barco de brinquedo ligado a uma corda que ele segura pela mão.

Suponha que o garoto quer recolher o barco e puxa 10 metros de corda até o barco alcançar a encosta. O barco andou menos de 10 metros, exatamente 10 metros ou mais que 10 metros?

Antes de olhar a resposta, tente resolver o problema apenas com a sua intuição.

Solução

Considere o esquema abaixo:

Inicialmente a corda tem um tamanho . Depois de puxar o barco à margem o pedaço de corda ligado ao barco adquire um tamanho final . Claramente

Se é a distância percorrida pelo barco, então, pela desigualdade triangular,

Logo o barco percorre uma distância maior que 10 metros!

Pode parecer estranho, mas é isto mesmo. De fato, pode-se verificar que o barco anda a uma velocidade maior do que a corda sendo puxada.

É uma bazuca, mas é legal

2010-06-11T15:07:00.003-03:00

Olá galerinha do LeGauss

Em um post anterior afirmei que um certo número era claramente finito:

Se quiser tente provar, não deveria ser mto difícil, um esquema parecido com o que eu fiz no meu post pode ajudar.

Mas nesse post vou utilizar o teorema do ponto fixo de Banach que eu já demonstrei aqui no blog (se não viu veja aqui).

Vamos lá!

Perceba que esse número claramente pode ser definido como o limite da sequência:

Podemos também olhar para a função e perceber que na verdade nossa sequência é a sequência de iteradas dessa função. Isso é, podemos definir:

E se mostrarmos que essa função é uma contração, saberemos que ela tem um único ponto fixo e além disso independente de quem é essa sequência convergirá para esse ponto fixo!

Para mostrarmos que ela é uma contração temos que mostrar que:

Note que podemos olhar só para os números pois a função é monotônica e no caso eu estou incluindo o zero em .

Basta notar agora que:

Esse dois vale pela monotonicidade da função e porque

Isso motra que a função é uma contração, portanto possui um único ponto fixo em e que nossa sequência portanto converge pra ele independente de quem é , desde que ele pertença ao domínio que nós impomos.

Tá aí uma aplicação legal do teorema que eu demonstrei. =P
Espero que tenham curtido.

Uns links legais para quem estuda matemática

2010-06-09T17:22:00.000-03:00

Olá galerinha do LeGauss.

Vou colocar aqui três links muito legais, de professores que escreveram livros muito bons e disponibilizaram em seu site.

Os links são dos sites do Milne, Fulton e do Hatcher.

Milne

link: http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/index.html

Esse site do Milne é um verdadeiro baú de tesouros. Nessa página ele disponibiliza várias notas de cursos, muito bem escritas e completas. Vale muito a pena.

Hatcher

link: http://www.math.cornell.edu/~hatcher

O site do Hatcher possui livros muito bons. Um deles (o de topologia algébrica) é tão bom que a editora da Cambridge pediu para o Hatcher deixarem eles publicarem o livro mesmo ele estando disponível online.

Fulton

link: http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton

O site do Fulton é muito bom também. Não porque tem muitos livros, na verdade só possui um. O seu livro de curvas algébricas publicado em 69, que foi revisado e agora ele dispobiliza para download no seu site.

Admiro muito esses autores por terem uma atitude tão legal. Eles acabam um pouco com essa indústria de novas edições e jogos de marketing etc sobre os livros.
Sabem que seus livros são bons e não ficam tentando lucrar com isso.
O Hatcher com certeza ainda ganha uma grana com o livro de topologia algébrica dele.
As pessoas que baixam e vêem que o livro é muito bom provavelmente vão comprar depois de ler, senão, é porque provavelmente não poderiam comprar de um jeito ou de outro.

É isso espero que curtam o acervo.
Até.

Estudos de Matemática

2010-06-06T01:06:00.002-03:00

Hora do comercial:

Acabei de conhecer um site muito bom (que já ganhou um espaço no "Links legauss" à direita), o http://www.estudos.de/matematica/. Não costumo divulgar qualquer site que acho por aí. Mas este merece pelo conteúdo de altíssima qualidade.

Além de textos muito bem escritos, no Estudos de Matemática você pode encontrar cursos completos de

Vale lembrar que este site não trata apenas de matemática. Tem também, por exemplo, uma série de slides sobre os fundamentos da Mecânica Quântica.

Enfim, dê uma olhada, vale a pena.

Até.

Ulam-Borsuk em dimensão 1

2010-06-04T19:25:00.001-03:00

Olá galerinha do LeGauss!

Hoje vou demonstrar um "mini teorema" que (eu acho) bonito e é bem simples, o único requisito praticamente é o teorema do valor intermediário (ou melhor, uma versão um pouquinho mais abstrata dele, afinal quando falamos do TVI falamos de funções contínuas ).

O motivo de chamá-lo de "mini teorema" é que na verdade é uma versão 1-dimensional do famoso teorema de Ulam-Borsuk.

Aliás parece que foi uma dupla de Uruk-hais de Isengard que provou esse teorema. Huahuahua Sempre que falo o nome desse teorema penso em Senhor dos Anéis.

O enunciado é o seguinte:

Seja uma função contínua, então , tal que

obs: O inverso aditivo de é pensado como o inverso aditivo dele em , i.e. e são pontos antipodais de .

Vamos a demonstração.

Acho que a forma mais honesta de provar esse resultado é olhando os dois espaços como espaços métricos [1] e usar que funções contínuas preservam sua conexidade [2]. Isso é basicamente usar o teorema do valor intermediário, mas só falar "pelo teorema do valor intermediário" é jogar uma sujeirinha para baixo do tapete. [3]

Vamos olhar para a função , ela é, também, uma função contínua (pois a soma de funções contínuas é contínua e também o é sua composição).

Então seja um ponto qualquer de .

Se então não precisamos fazer nada, senão, podemos supor sem perda de generalidade que .

Temos portanto que e . Como é contínua e é conexo temos que tal que .

Mas .

E esse é o teorema.
Espero que tenham curtido.

No caso do teorema de Ulam-Borsuk, costuma-se dar um exemplo legal, que diz que a qualquer momento sempre existem dois pontos antipodais na terra com a mesma temperatura e mesma pressão atmosférica.

Bizarro não? xD

Notas:

[1] Por serem métricos são também topológicos.
[2] Eu não vou demonstrar esse resultado, quem sabe outro dia, mas acredite. É bem "intuitivo" pensando que conexidade é uma propriedade topológica do espaço e logo é preservada por homeomorfismos.
[3] Coisa que eu fiz também, já que não demonstrei que funções contínuas preservam conexidade. xD

Ilusão de ótica

2010-05-28T19:12:00.000-03:00

Olá galerinha do LeGauss!

Esse vídeo não tem nada a ver com matemática, deve ter bastante a ver com física haha.
Mas vou postar porque achei muuuuito bom.

Hallucinogenic Video from Rohan on Vimeo.

Para rir ou para chorar - Parte 4

2010-05-27T14:53:00.000-03:00

Olá galerinha.
Esse post ajudará vocês a visualizar um pouco melhor o que vemos em álgebra.

Encontrei umas fotos legais.

Primeiro uma foto de um grupo abeliano:

Agora uma foto de um grupo cíclico!

Ilustrativo não? Vale notar também que todo grupo cíclico é abeliano!

LOL

Notícia Expressa: A Phoenix morreu!

2010-05-25T19:05:00.000-03:00

A agência espacial norte-americana, NASA, levou a cabo várias tentativas para recuperar o sinal da sonda Phoenix, mas já é oficial: a sonda morreu. A imagem partilhada pela Nasa mostra os painéis danificados pelo gelo polar. A fotografia de 2008, após a aterragem da Phoenix, mostram outra perspectiva com os painéis solares a funcionar.

Segundo a NASA, ainda não há previsão para o renascimento da Phoenix.

Ok, postei isso apenas pela piada, mas se você quiser ler a notícia ela está aqui.

Um truque para somar potências

2010-05-22T15:04:00.003-03:00

A matemática é cheia de truques (também conhecidos como ``roubos'' pelos alunos). Neste post quero apresentar um truque muito interessante para encontrar fórmulas fechadas para somas de potências de números inteiros positivos. Isto é, suponha, por exemplo, que queremos uma fórmula fechada para a expressão

Existem diversas formas de encontrá-la. Uma delas você vai conhecer agora.

Primeiramente, analisemos um problema mais simples: somar os primeiros números naturais. Isto é, vamos achar a fórmula

O jeito mais fácil de fazer isso, é o famoso ``truque do Gauss'', que pode ser generalizado para calcular a soma de qualquer progressão aritmética. Mas aqui, vamos encontrar esta fórmula de outro jeito. A razão disto ficará mais clara posteriormente.

Vamos considerar, por um momento a soma dos primeiros quadrados (eu não estou ficando louco, é sério). É claro que

Agora, façamos a mesma subtração acima de uma outra maneira.

Subtraindo as colunas e usando o resultado anterior, teremos que

Mas

Opa! Então

Assim, recuperamos (de um jeito muito estúpido) a soma dos primeiros números naturais. O incrível é que este processo pode ser, facilmente, generalizado para obter somas de potências quaisquer! A única restrição é que devemos conhecer as fórmulas para as somas de todas as potências anteriores. Vejamos como isto funciona no caso quadrático, vamos calcular

De maneira análoga à anterior, sabemos que

Logo

Agora basta manipular a expressão da direita para obter

Incrível, não? Agora, que tal encontrar a fórmula para a expressão do início deste post? Boa sorte!

PAC MAN - 30 anos devorando fantasmas!

2010-05-21T13:43:00.003-03:00

Meus parabéns ao querido jogo da Namco, Pac Man que hoje completa 30 anos!

E para celebrar, o Google também fez questão de lembrar desta data e deu um presente especial à todos:

Entrem na página do Google e SURPRESA!
Jogue Pac Man direto da página inicial do Google, com direito à 2 jogadores simultâneos (Clique em "Insert Coin")

Prmeiro jogador usa as setinhas e o segundo as teclas WASD.

CURIOSIDADE: A idéia original do formato do Pac Man foi feita através da imaginação de um Japonês ao ver uma pizza de muzzarela com uma fatia a menos.

Curiosidade 2: Originalmente ele era para ser chamado de Puck Man (Homem disco) mas como os ocidentais trocariam facilmente a letra P por um F, resolveram mudar o nome para Pac Man. Ainda existem máquinas de Puck Man pelo mundo.

O Teorema do Ponto Fixo de Banach

2010-05-21T02:18:00.004-03:00

Olá galerinha do LeGauss.

Nesse post vou provar um teorema famoso e bastante utilizado sobre contrações em espaços métricos completos.

Se você não sabe o que é um espaço métrico dê uma olhada nesse link, na verdade é simplesmente um espaço dotado de uma métrica, uma função que diz a distância de dois pontos, que respeita certas propriedades que estão aí nesse link.

O enunciado do Teorema do Ponto Fixo de Banach diz o seguinte:

Seja um espaço métrico completo munido da métrica e , uma contração contínua, isso é, uma função contínua tal que tal que . Então possui um único ponto fixo , i.e. .

Então vamos à prova.

Dê uma olhada nessa sequência:

Onde é um elemento fixo qualquer.
Veremos que na verdade essa sequência não vai depender de quem é , então simplesmente escolha seu elemento preferido de e dê a ele o título de =P.

Temos que provar 3 coisas para demonstrar o teorema:

(1) A sequência converge.
(2) é um ponto fixo de . (Existência)
(3) Sejam dois pontos fixos de , então . (Unicidade)

Primeiro vamos provar (2):

Apenas note que .

Essa foi rápida o/, note que usei a continuidade de aí no meio.

Agora vamos provar (3):

Sejam dois pontos fixos de temos que:

Logo,

e além disso

Temos então que , i.e. .

Finalmente provamos (1):

Provaremos que é uma sequência de Cauchy, como é completo, ela necessariamente vai convergir.

Para provar isso veja que:

E mais geralmente teremos que:

Então:

Na última passagem percebam que aquilo é uma série geométrica, e é menor ou igual a sua soma infinita. Como tende a quando tende a infinito isso claramente tende a zero.

Logo é de Cauchy e como é completo, ela converge.

Esse é um teorema forte que tem uma demonstração razoavelmente simples, mas é bonita a ideia de que iterando a contração diversas vezes você leva qualquer ponto em no ponto fixo.

Espero que tenham curtido.
Até a próxima.

Um problema divertido sobre convergência

2010-05-17T16:47:00.001-03:00

Olá galerinha do LeGauss nesse post vou trazer um problema divertido que eu vi no livro Putnam and Beyond mas não sei se o problema é mesmo da Putnam. =P

Seja a sequência:

A pergunta é. Ela converge?

Bom, primeiro, note que ela é monótona crescente, e é "note" mesmo, isso é bem óbvio porque a função raiz é crescente.

Então o melhor caminho para resolvermos esse problema é achar uma limitação para essa sequência, pois sabemos que uma sequência monótona crescente, limitada superiormente, converge.

Se quiser tente um pouco, sempre é mais divertido ler o problema depois que você já tentou um pouco.

Agora note que:

E passando o limite:

E isso é uma ótima estimativa, veja que esse número tem cara de finito. Hehe
O que nos interessa é mostrar que aquela soma de 1's enraizados é finita mas note que aquele número respeita a equação:

(Basta perceber que se a gente eleva ele ao quadrado a gente obtém ele mesmo mais 1.)
Então temos que:

(Que é a raiz positiva daquele polinômio.)
E temos que nossa sequência é limitada, portanto, converge.

É isso, uma malandragem boa aí. hehe
Espero que tenham curtido.
Abraço.

TeXmacs

2010-05-15T19:43:00.009-03:00

O nome fala muito sobre o programa: a filosofia do grande Emacs inserida num editor WYSIWYG. Pode lembrar bastante um post do LeGauss sobre o Lyx: as idéias são as mesmas, mas são soluções bem diferentes. Gostaria de apresentar um pouco do TeXmacs, que venho testando há três dia.

Home page do projeto: http://www.texmacs.org/

O Emacs é famoso pelos seus atalhos, às vezes são necessárias quatro ou cinco teclas para realizar algo. Em troca, você faz qualquer coisa com o emacs e muitas vezes o teclado é suficiente para a maioria das tarefas. Pessoalmente, eu só uso o emacs pra programar e escrever notas rápidas. Essas características estão presentes no TeXmacs: quase tudo pode ser feito pelo teclado. Para quem dedicar algum tempo a aprender os atalhos, isso pode virar uma bela vantagem na hora de escrever.

Assim como o Lyx, eu venho utilizando essas editores para notas rápidas e rascunhos de contas. É uma forma interessante de armazenar as contas, abrir rapidamente e até utilizá-las em alguma reunião de grupo. Vejam alguns screenshots aqui. É uma excelente opção para donos de netbooks que queiram fazer anotações durante reuniões ou palestras importantes.

Sobre meus Tests

Tive a oportunidade de rodá-lo em dois computadores e a performance foi excelente (sem travar nem lentidão) em nenhum dos dois. Criei um arquivo longo e não tive problemas de estabilidade (o Lyx às vezes apresenta certos problemas com arquivos longos). Um dos computadores é um EEE PC (proc. intel atom 1.66GHz, Fedora 12 i686, 1GB Ram) e o outro é meu PC de pesquisa, montado por mim mesmo (proc. intel dual core 2.5 GHz, Fedora 13 BETA 64 bits, 4 GB Ram, plac. video Nvidia G-Force 9600 gtx).

As fontes estão perfeitas e a qualidade gráfica é bem superior à do Lyx, comparados em ambos os computadores. No entanto, o tempo para carregar o programa é um ou dois segundos mais lento que o Lyx.

Plots e pequenos cálculos rodam em tempo aceitável, mas não considerei isso uma vantagem do TeXmacs.

Não testei nem no Windows, nem no Mac-OS.

Megaman - O Filme (não oficial)

2010-05-15T12:14:00.001-03:00

Esse é um filme de uma hora e meia feito por fans e de excelente qualidade. Faça uma pipoca e aproveite o filme. Não esqueça de colocar em tela cheia.

"MegaMan"-Fan Film from Eddie Lebron on Vimeo.

É incrível o que fans podem fazer com poucos recursos e muita imaginação. Como eu queria que filmes de grandes produtoras fossem adaptações tão boas quanto essa...

Por que matemáticos fazem o que fazem?

2010-05-14T23:23:00.002-03:00

Eis um texto interessante que encontrei no site do matemático brasileiro Fernando Q. Gouvêa:

It took hundreds of thousands of computers and several years of work, but they got it.

"They" are the participants in the Great Internet Mersenne Prime Search. "It" is one more very large prime number, a monster with 6 million digits, part of a sequence of numbers known as "Mersenne primes" that is expected (but not known) to go on forever.

As mathematical achievements go, this one was fairly minor. It required no theoretical innovation, no conceptual leap; time, persistence, the Internet and lots of computers were enough.

Finding a new Mersenne prime confirms the expectation that it was there to find, but does not give us much more than that. As one of the people involved said this month when the discovery was announced, "It's a neat accomplishment, but it really doesn't have any applicability."
Many great mathematical quests are like this. They are exciting adventures of the mind whose completion takes years of effort by whole communities of mathematicians but whose results are not usually of immediate practical use. This may come as a surprise, since our teachers spent a lot of time telling us that mathematics is important because it is useful. But that wasn't the whole story.

O texto completo você pode conferir aqui.

Isto também me lembrou um trecho do livro Tio Petros e a Conjectura de Goldbach (págs.28,29):

[...] a verdadeira matemática não tem nada a ver com aplicações. Nem com os processos de cálculo que aprendemos na escola. Estuda idealizações intelectuais abstratas que, pelos menos enquanto o matemático está ocupado com elas, não tocam de nenhuma forma no mundo físico e sensível.[...] Os matemáticos [...] sentem nos seus estudos o mesmo prazer que os jogadores de xadrez encontram no xadrez. Na verdade, a estrutura piscológica do verdadeiro matemático está mais próxima da do poeta ou do compositor musical, noutras palavras, de alguém preocupado com a criação da Beleza e a procura da Harmonia e da Perfeição. Ele é o pólo oposto do homem prático, o engenheiro, o político ou o homem de negócios.

Eu estava escrevendo um comentário enorme sobre os textos acima mas acabei desistindo, eles falam por si mesmos. Há quem discorde (e têm um pouco de razão), mas não vou entrar nesta discussão agora [1].

Até.

Notas:

[1] Até porque eu nem sou matemático ainda. ;-)

GPS com vozes do StarWars

2010-05-13T23:00:00.003-03:00

A tomtom, fabricante de GPS está lançando agora vozes dos personagens do StarWars para guiar você pelas ruas. Por enquanto só existe a voz do Darth Vader disponível:

Portal is FREE

2010-05-12T17:43:00.001-03:00

Portal, um dos melhores jogos que já joguei, estará disponível gratuitamente aqui até dia 24 de maio. De acordo com o site:

Portal used to cost money. Until May 24th, it's free. End of story.

Neste jogo, você assume o papel de uma cobaia que tem que testar um dispositivo capaz de criar portais, e você fará isso passando por uma série de quebra cabeças.

Você sempre pode criar dois portais. Um será a entrada e o outro a saída. Alguns quebra cabeças, por exemplo, exigirão que você coloque a saída do outro lado de um buraco muito grande para ser pulado, e a entrada do seu lado. Ou então uma saída no teto, acima de alguma plataforma alta demais. Os quebra-cabeças foram bem pensados e há varias formas de resolvê-los.

Após terminada a campanha principal, é possível jogar desafios, alguns dos quais são os puzzles da campanha modificados para serem mais difíceis de resolver. E, para quem gosta, o jogo também conta com vários archievements.

Portal de destaca por ter um humor bem particular. É difícil de descrever sem estragar o jogo. Apenas baixe o jogo e divirta-se.

Qual o tamanho do Universo?

2010-05-11T22:53:00.006-03:00

Bom, aparentemente são 3.4MB...

Isto de acordo com o usuário Fotoshop do site Newgrounds.

Neste incrível gadget feito em Flash (ei Apple, FLASH!), foi feito uma escala de todo o universo, desde os sub-atômicos quantum, para quem não sabem eles são menores que átomos, até o fim do Universo que conhecemos à uma mera medida de um Yottametro, isto é, mais de 100 milhões de anos-luz!

Espero que vocês gostem desse flash:

The Scale of The Universe

Teorema de Wilson

2010-05-08T22:11:00.011-03:00

Olá galerinha do LeGauss.

Para vocês que gostam de House vou provar nesse post o famoso teorema de Wilson! xD
Se você não achou a piada engraçada... O problema é seu. =P

Voltando à matemática o teorema de Wilson diz que um número é primo se e somente se:

Então vamos à prova!

Demonstração:

Para provar a ida nós vamos assumir que é primo e vamos usar o resultado da teoria dos números de que com primo é um corpo. Sabendo um pouco (ou muito) de teoria de anéis e sabendo que e que é um ideal maximal temos que é um corpo.

Vamos olhar então para o seguinte polinômio:

Note que todos os elementos do grupo multiplicativo são raizes desse polinômio (pelo pequeno teorema de Fermat, ou pelo teorema de Lagrange), mas é um corpo e pode ter no máximo raizes em . Logo como essas são todas as raizes de em .

Mas sabemos que o termo constante do polinômio é igual a multiplicação de todas as raizes já que é par (exceto para ), temos então que:

Note que poderiamos ter um problema com o sinal, já que só sabemos que isso vale quando o polinômio tem grau par, se tivesse grau impar teriamos que , mas como o único primo par é e em
o resultado segue para todo primo.

A volta provaremos por contrapositiva. Suponha não primo. Então existe tal que .
Obviamente .
Suponha por absurdo que:

Mas e o que é absurdo pois .

É isso. espero que tenham curtido ;^)