quinta-feira, 8 de janeiro de 2009

Determinando o número de dígitos

Olá! Enquanto ainda não implementamos o uso de de Latex aqui no blog, vou inaugurar a seção de matemática com uma curiosidade. É bastante simples.

O problema consiste em saber quantos dígitos tem um número x, inteiro, qualquer.

Antes de qualquer coisa é preciso notar que qualquer número inteiro está entre duas potências consecutivas de 10. Isto é:

10^k =< x < 10^(k+1)

Feito isso, vamos a um exemplo, k=2:

10^2 =< x < 10^3

Experimentando alguns valores, perceberemos que x terá exatamente 3 dígitos. Isto é fácil verificar, pois ele pode ser escrito da forma: 100*a + 10*b + c, onde a,b,c são inteiros que representam seus algarismos. Apesar de isto não constituir uma prova matemática, afirmaremos
que, então, o número de algarismos de x será k+1.

Tendo esta lei em mão, calculemos o número de algarismos de 3^2009!

10^k =< 3^2009 < 10^(k+1) - aplicando log na base 10 nesta desilgualdade, ficamos com:
k =< 2009*log(3) < k+1 - com uma calculadora resolvemos log(3),
k =< 2009*0,477 < k+1 - então,
k =< 958,536 < k+1 - como k é inteiro, então k=958 e k+1=959

Portanto, 3^2009 possui 959 dígitos!

Até a próxima.




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