Conjuntos de Cantor generalizados

Uma das construções mais clássicas da matemática é a construção do Conjunto de Cantor. Se você nunca viu um conjunto de Cantor, talvez gostasse de clicar aqui ou aqui. Também fizemos um post sobre o Carpete de Sierpinski, que nada mais é do que uma generalização bidimensional do conjunto de Cantor clássico.

Objetivos e enunciados

Antes de tudo, generalizemos o conceito Conjunto de Cantor na reta.

Definição.  Um conjunto de Cantor generalizado em  é um subconjunto tal que

1. é compacto;
2. é totalmente desconexo;
3. é não-enumerável.

Totalmente desconexo, na reta, significa apenas que o conjunto não contém nenhum intervalo (não-degenerado, i.e., que não se reduz a um único ponto). Cabe observar que esta definição não é padrão, e há muita ambiguidade no termo ``generalizado''.

Qual é o interesse em se construir tais conjuntos? A resposta mais simples é que conjuntos de Cantor fornecem exemplos muito estranhos e contra-intuitivos em Teoria da Medida. Por exemplo, um resultado básico é que todo subconjunto enumerável em  possui medida nula. O conjunto de Cantor clássico produz um contra-exemplo para a recíproca, isto é, é um conjunto não-enumerável mas com medida nula. Vamos nos dedicar neste post a provar o seguinte teorema.

Teorema. Dado , existe um conjunto de Cantor generalizado com medida (de Lebesgue) .

Apenas uma observação: vamos usar a medida de Lebesgue na reta, mas se você não está familiarizado com isto, pode (e deve!) pensar que a medida de um intervalo é simplesmente o seu comprimento; como vamos calcular apenas medidas de intervalos e uniões de intervalos, isto não deve atrapalhar a compreensão do texto.

O Teorema de Recorrência de Poincaré

E aí galerinha do LeGauss.

Hoje vou provar um teorema que é bem fácil de se provar e é extremamente interessante. para entender a demonstração você precisará conhecer simplesmente as definições básicas de teoria da medida, como o que é uma álgebra, um espaço mensurável e uma função mensurável.

Vamos lá.

Teorema: Seja um espaço de medida finita e seja uma função que preserva a medida, isso é, é mensurável e para todo , temos que , então para todo o conjunto


Tem medida nula.

Ou seja o teorema diz que quase todo ponto de retorna infinitas vezes via para .