sábado, 23 de janeiro de 2010

Uma demonstração algébrica para o Teorema Fundamental da Álgebra - Parte 2

Agora, sim, vamos provar o Teorema. Não esqueça de olhar as notas de rodapé caso surja alguma dúvida.

Teorema:
Todo polinômio com coeficientes complexos possui uma raiz complexa.

Demonstração:
Se você não leu a Parte 1, clique aqui antes de ler a demonstração.

Tome . Se denota o o polinômio com os coeficientes conjugados (conjugação complexa), note que o polinômio pertence à (pois ). Além disso, tem raiz em se, e somente se, tem raiz em [1]. Seja um corpo que contém todas as raízes de. Isto é,



Note que o grau de é . Podemos escrever como , com ímpar. Façamos indução em . Para , temos que o grau de é , e portanto, tem raiz real (pois é ímpar). Agora, fixe e considere o conjunto



Veja que tem exatamente elementos [2]. Defina . Agora, considere o polinômio



Note que o grau de é . Como os coeficientes de são expressões simétricas em , também o são em . Desta forma, [3]. Sabendo isso, note que a hipótese de indução se aplica em e, portanto, tem raiz em . Digamos que esta raiz seja



com . Como existem infinitas escolhas para e finitas possibilidades para e , então existe tal que


[4]

Através de combinações lineares de e , podemos concluir que e . As raízes do polinômio quadrático




são justamente e . Portanto, e são números complexos [5].

Notas:
[1] De fato, suponha que tem uma raiz . Então, devemos ter ou . Se , acabou. Se não, . Conjugando os dois lados, temos . Logo, também tem raiz complexa.

[2] Fixe . Então, varia de a e obtemos elementos diferentes. Fixe , então varia de a e obtemos elementos. Repetindo o processo até , teremos no total elementos em .

[3] Esta parte pode ser confusa para quem não está acostumado com polinômios simétricos, mas vou tentar esclarecer. Os coeficientes de serão expressões simétricas elementares em . Como cada é simétrico em , então a expressão inteira será simétrica em . Se você ainda tem dúvida disso, pegue um papel e escreva um caso pequeno (por exemplo,) e talvez fique mais claro. O fato de pertencer a vem do Corolário do "Requisito 4" da Parte 1.

[4] Existem, no total, pares ordenados de índices para formar os . Posso representar a raiz complexa de como um par ordenado do tipo , em nossa demonstração, o par que apareceu foi . Como posso escolher infinitos números reais (distintos) para construir e o polinômio , em alguma dessas escolhas vou repetir algum par que já havia aparecido como raiz de algum . É nada mais que o Princípio da Casa dos Pombos.

[5] Este fato segue diretamente do que mostramos no "Requisito 2" da Parte 1.




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