Uma caracterização legal de conexidade

Para este post, é necessário saber um pouquinho de Topologia Geral, mas só o básico mesmo.

Sabemos que um espaço topológico é desconexo se existem dois abertos disjuntos e tais que . Obviamente, um espaço é conexo se não existem abertos com estas propriedades. Certamente, esta é uma definição bem simples, mas algumas demonstrações envolvendo conexidade são um tanto enroladas.

Neste post, quero exibir uma outra noção, equivalente à conexidade, mas que pode ser muito mais simples de se trabalhar em determinados contextos. Para exemplificar, vou demonstrar os diversos teoremas básicos envolvendo conexidade nesta nova roupagem.

Conjuntos de Cantor generalizados

Uma das construções mais clássicas da matemática é a construção do Conjunto de Cantor. Se você nunca viu um conjunto de Cantor, talvez gostasse de clicar aqui ou aqui. Também fizemos um post sobre o Carpete de Sierpinski, que nada mais é do que uma generalização bidimensional do conjunto de Cantor clássico.

Objetivos e enunciados

Antes de tudo, generalizemos o conceito Conjunto de Cantor na reta.

Definição.  Um conjunto de Cantor generalizado em  é um subconjunto tal que

1. é compacto;
2. é totalmente desconexo;
3. é não-enumerável.

Totalmente desconexo, na reta, significa apenas que o conjunto não contém nenhum intervalo (não-degenerado, i.e., que não se reduz a um único ponto). Cabe observar que esta definição não é padrão, e há muita ambiguidade no termo ``generalizado''.

Qual é o interesse em se construir tais conjuntos? A resposta mais simples é que conjuntos de Cantor fornecem exemplos muito estranhos e contra-intuitivos em Teoria da Medida. Por exemplo, um resultado básico é que todo subconjunto enumerável em  possui medida nula. O conjunto de Cantor clássico produz um contra-exemplo para a recíproca, isto é, é um conjunto não-enumerável mas com medida nula. Vamos nos dedicar neste post a provar o seguinte teorema.

Teorema. Dado , existe um conjunto de Cantor generalizado com medida (de Lebesgue) .

Apenas uma observação: vamos usar a medida de Lebesgue na reta, mas se você não está familiarizado com isto, pode (e deve!) pensar que a medida de um intervalo é simplesmente o seu comprimento; como vamos calcular apenas medidas de intervalos e uniões de intervalos, isto não deve atrapalhar a compreensão do texto.

A conjectura de Poincaré - Geometria Para entender o Universo

Recentemente, a Conjectura de Poincaré (depois de 100 anos de resistência) foi provada.  Isto causou bastante estardalhaço na mídia, principalmente em razão  de Grigori Perelman - o matemático que demonstrou a tal conjectura - ter se recusado a receber o prêmio milionário oferecido pelo Instituto Clay e também a medalha Fields.

Este não é um post explicativo sobre a Conjectura de Poincaré, pois dificilmente alguém conseguiria explicar tal problema matemático de forma tão elementar quanto Marcelo Viana (atualmente pesquisador do IMPA). Seguem 6 videos de uma palestra proferida por Viana no Instituto de Física da USP sobre a conjectura de Poincaré.

Apenas um aviso: a palestra é bem elementar mesmo, qualquer pessoa tem a capacidade de entender. Se você já sabe bastante sobre topologia e geometria, talvez você fique um pouco decepcionado, mas ainda assim acho que vale a pena.

Aliás, acabei de me lembrar de outro video. Para o leitor um pouco mais "letrado" em matemática, tem também uma ótima palestra de divulgação, proferida por Fernando Codá (também pesquisador do IMPA) sobre o tema Análise Geométrica, que também tem tudo a ver com a conjectura de Poincaré. Você pode baixá-la no seguinte link:

     http://strato.impa.br/videos/28_CBM/coloquio2011_28072011_coda.flv

É isso, até. ;-)

Video-aulas matemáticas (entre outras ciências exatas)

Olá galerinha do LeGauss.

Descobri um canal no Youtube da Universidade de New South Wales que disponibiliza alguns cursos online com qualidade de video e som muito boas!

Alguns cursos que vale a pena mencionar são os de Topologia Algébrica (que tem um enfoque meio diferente que me pareceu interessante) de Álgebra Linear e Cálculo. Tem cursos sobre "Higher computing" e Processamento de sinais mas eu não sei nada sobre essas coisas. xD

De qualquer forma vale a pena conferir o link é http://www.youtube.com/user/UNSWelearning

Queria agradecer ao meu amigo Danilo por ter dado a dica ;^).

Abraço e divirtam-se.

O Teorema do Ponto Fixo de Brouwer

Olá galerinha do LeGauss!

Não tenho postado muita coisa já que tenho estudado muito e estou meio sem tempo, mas venho me redimir com esse post. Vou provar assumindo alguns resultados básicos sobre homologia o famoso teorema do ponto fixo de Brouwer, o enunciado diz o seguinte.

Teorema do Ponto Fixo de Brouwer

Qualquer mapa contínuo possui um ponto fixo, isso é existe um com .

Lembrando que

Uma prova topológica para o Teorema de Cayley-Hamilton - Final alternativo

No post Uma prova topológica para o Teorema de Cayley-Hamilton mostrei como demonstrar o Teorema de Cayley-Hamilton por continuidade, utilizando uma topologia diferente da usual. Porém, esta topologia é tão diferente que algumas boas propriedades, como ser Hausdorff, são perdidas. Este fato fez com que a demonstração ficasse mais complicada (e mais sutil na parte final) do que era para ser.

Neste post, quero apresentar uma outra forma de contornar o problema. Talvez o argumento que irei utilizar seja menos intuitivo, mas com certeza é mais simples, pelo fato de não precisarmos nos preocupar com separabilidade. Se você não leu o primeiro post, clique no link ali em cima.

O teorema do Fecho-Complemento de Kuratowski

Olá galerinha do LeGauss!

Vou postar hoje a demonstração de um teorema muito interessante e que só exige um pouquinho de topologia e menos ainda de álgebra para entender. =P

O teorema é o seguinte:

Seja um espaço topológico e . É possível obter no máximo conjuntos diferentes tomando fechos e complementos de . Além disso existe um espaço topológico onde esse limite é atingido.

Uma prova topológica para o Teorema de Cayley-Hamilton

O Teorema de Cayley-Hamilton é bastante conhecido e muito usado em Álgebra Linear. Existem diversas formas de demonstrá-lo, mas na minha humilde opinião,  a que apresentarei aqui é a mais bonita. Neste artigo, usarei um corpo  genérico , que você pode pensar como ou , se preferir. Este teorema pode ser enunciado da seguinte forma:

Teorema. Seja uma matriz quadrada de ordem , com coeficientes num corpo , e seu polinômio característico. Então

 

Introdução à topologia de Zariski

Olá galerinha do LeGauss.

Hoje vou postar sobre uma coisa importante em geometria algébrica e que na verdade só estou postando porque vai servir de requisito para um próximo post do Tiago.

Mas não deixa de ser interessante por si só! =P

O volume da bola e esfera unitária n-dimensional

Olá galerinha do LeGauss.

Hoje vou provar um resultado meio bizarro e que o único requisito para seu entendimento é um pouco de cálculo III (só a ideia de integrais múltiplas) e uma boa visão geométrica das coisas que vão acontecer.

Vamos determinar o volume da bola unitária e a área da esfera unitária .

Vamos à prova.

Uns links legais para quem estuda matemática

Olá galerinha do LeGauss.

Vou colocar aqui três links muito legais, de professores que escreveram livros muito bons e disponibilizaram em seu site.

Os links são dos sites do Milne, Fulton e do Hatcher.

Ulam-Borsuk em dimensão 1

Olá galerinha do LeGauss!

Hoje vou demonstrar um "mini teorema" que (eu acho) bonito e é bem simples, o único requisito praticamente é o teorema do valor intermediário (ou melhor, uma versão um pouquinho mais abstrata dele, afinal quando falamos do TVI falamos de funções contínuas ).

O motivo de chamá-lo de "mini teorema" é que na verdade é uma versão 1-dimensional do famoso teorema de Ulam-Borsuk.

Aliás parece que foi uma dupla de Uruk-hais de Isengard que provou esse teorema. Huahuahua Sempre que falo o nome desse teorema penso em Senhor dos Anéis.

O enunciado é o seguinte:

Seja uma função contínua, então , tal que