Probleminha legal (partição do plano)

Eis aqui um probleminha interessante que um amigo me comunicou (ele tirou de um livro, mas eu esqueci qual era o livro; se eu lembrar, coloco o nome aqui).

É possível encontrar uma partição do plano em dois conjuntos, de forma que nenhum deles contenha três pontos equidistantes?

Clicando aqui, você confere uma "prova sem palavras" que eu fiz baseada na solução de outro amigo meu.

Um problema legal da Putnam

Olá, vamos direto ao problema:

Diga se a série converge, e se sim diga para qual valor.

Um limite LeGauss de novo

Olá galerinha do LeGauss.
Vou mostrar hoje um problema divertido e com uma solução geométrica roubada sem querer ser redundante. =P

O problema é o seguinte:

Seja , os pontos inteiros dentro (estritamente) da circunferência de raio e seja sua cardinalidade (a quantidade de elementos lá dentro).

Qual o valor de ?

Vamos à solução!

É uma bazuca, mas é legal

Olá galerinha do LeGauss

Em um post anterior afirmei que um certo número era claramente finito:


Se quiser tente provar, não deveria ser mto difícil, um esquema parecido com o que eu fiz no meu post pode ajudar.

Mas nesse post vou utilizar o teorema do ponto fixo de Banach que eu já demonstrei aqui no blog (se não viu veja aqui).

Vamos lá!

Um problema divertido sobre convergência

Olá galerinha do LeGauss nesse post vou trazer um problema divertido que eu vi no livro Putnam and Beyond mas não sei se o problema é mesmo da Putnam. =P

Seja a sequência:



A pergunta é. Ela converge?

Problemas LeGauss: Problema 1 - IMO 2009

Olá galerinha LeGauss.

Vou postar aqui um problema que eu achei divertido da IMO do ano passado, tentem resolver e cliquem em "continue lendo" para ver a solução. (não é muito difícil)

Problema 1. Seja um inteiro positivo e sejam inteiros distintos do conjunto tais que divide , para . Demonstre que não divide .

Bom, a solução não é muito complicada, vamos supor por absurdo que divide , isto é,

Temos então que:


A última congruência sendo consequência de que .

Por um processo análogo é fácil ver que:


E com isso chegamos em:

(Pois .)

Absurdo! Pois não há como 2 termos distintos menores ou iguais a serem iguais módulo .

É isso, até a próxima!