Como funciona a sua calculadora?

O objetivo desta exposição é mostrar como funciona o algoritmo mais utilizado em calculadoras científicas para calcular, principalmente, funções trigonométricas.


Introdução

Certamente calculadoras científicas utilizam métodos numéricos (algoritmos que obtêm um valor aproximado) para retornar valores de funções como seno, cosseno, exponencial, etc. Você já parou para se perguntar que métodos são esses?

Se você já fez um curso básico de Cálculo, sei que a primeira coisa que passou pela sua cabeça neste momento foi Série de Taylor. Aproximar usando Taylor é realmente muito simples; por exemplo, a série do seno é

 

Basta então escolher alguma precisão (em casas decimais, por exemplo) e truncar esta série para obter uma expressão finita. Por exemplo, todos sabemos que, para os nossos professores de física, , que é uma aproximação em Taylor de ordem 1. Você pode escolher qualquer grau e depois calcular o quão boa é esta aproximação, mas isto não nos interessa no momento.

O fato é que sua calculadora provavelmente não usa aproximação em Taylor! Isto pode parecer, sem dúvida, um tanto estranho. Aproximação em Taylor é simples e converge rapidamente. Além do mais, oferece uma expressão polinomial para qualquer uma destas funções. É difícil conceber algo mais simples.

Decomposição Primária e EDO's

E aí galerinha do LeGauss

Conforme os estudos vão ficando mais tensos os post vão ficando mais escassos hehe, mas vou tentar me policiar para postar mais (agora que as aulas estão começando etc).

Nesse post vou provar o que é basicamente o teorema da decomposição primária e usar isso para provar que o espaço de soluções de uma EDO de ordem linear com coeficientes constantes tem dimensão , o que é na verdade uma aplicação legal do teorema de decomposição primária.

Eu tentei explicar tudo bem direitinho (quando não expliquei deixei claro o que estava assumindo) durante o post, principalmente coisas que são "assumidas" (na verdade completamente omitidas) na maioria dos livros de cálculo e EDO's que você vê por aí, esse teorema é bem fundamental, então se você assume muitas coisas tudo parece besteira. É normal você perguntar "Qual é a solução de uma EDO desse tipo?" para uma pessoa e ela saber responder, mas como viu um método bem ad hoc (thumbs up para o meu latim xD) de como encontrar a solução, não saber justificar por que todas soluções são realmente dadas por aquela forma. É nesse sentido que esse teorema é legal.

Depois desse papo vamos à matemática.

Texto de geometria projetiva e algébrica

E aí galerinha do LeGauss.

Faz muito tempo que eu não posto, estou bastante ocupado. xD
Mas vim trazer um texto que escrevi sobre geometria projetiva e geometria algébrica (abordada de uma forma mais clássica usando polinômios). Acredito que é uma ótima introdução à geometria projetiva, mas não é uma introdução muito boa à geometria algébrica, pois como eu disse a abordagem é bem clássica. O texto tem como objetivo provar os teoremas de Pappus e de Pascal primeiro usando as ferramentas da geometria projetiva e depois da geometria algébrica.

Uma prova topológica para o Teorema de Cayley-Hamilton - Final alternativo

No post Uma prova topológica para o Teorema de Cayley-Hamilton mostrei como demonstrar o Teorema de Cayley-Hamilton por continuidade, utilizando uma topologia diferente da usual. Porém, esta topologia é tão diferente que algumas boas propriedades, como ser Hausdorff, são perdidas. Este fato fez com que a demonstração ficasse mais complicada (e mais sutil na parte final) do que era para ser.

Neste post, quero apresentar uma outra forma de contornar o problema. Talvez o argumento que irei utilizar seja menos intuitivo, mas com certeza é mais simples, pelo fato de não precisarmos nos preocupar com separabilidade. Se você não leu o primeiro post, clique no link ali em cima.

Uma prova topológica para o Teorema de Cayley-Hamilton

O Teorema de Cayley-Hamilton é bastante conhecido e muito usado em Álgebra Linear. Existem diversas formas de demonstrá-lo, mas na minha humilde opinião,  a que apresentarei aqui é a mais bonita. Neste artigo, usarei um corpo  genérico , que você pode pensar como ou , se preferir. Este teorema pode ser enunciado da seguinte forma:

Teorema. Seja uma matriz quadrada de ordem , com coeficientes num corpo , e seu polinômio característico. Então

 

Uma demonstração elementar da igualdade entre posto-linha e posto-coluna de uma matriz

Seja uma matriz qualquer. Usualmente, interpretamos as linhas e as colunas de como vetores. O posto-linha de é definido como a dimensão do espaço linha de (isto é, o subespaço vetorial gerado pelas linhas de ). Analogamente, o posto-coluna de é definido como a dimensão do espaço coluna de . Em outras palavras, podemos definir posto-linha como sendo o número de linhas linearmente independentes de e o análogo para posto-coluna.

Teorema. Em qualquer matriz o posto-linha é igual ao posto-coluna.

Uma prova para o Determinante de Vandermonde

Chamamos de Matriz de Vandermonde uma matriz da forma

A transposta desta matriz é também denominada da mesma forma. Neste artigo, vamos provar que

Poucos requisitos são necessários para compreender esta demonstração. Você precisa saber que:

1. Somar um múltiplo de uma coluna (recip. linha) em outra coluna (recip. linha) não altera o determinante.
2. Se todas as entradas de uma coluna estão multiplicadas por , então " sai pra fora do determinante".
3. Expandir um determinante por linha ou coluna.

Clique aqui, caso tenha alguma dúvida sobre as propriedades acima.

A demonstração deste fato segue por indução em . A base de indução, , é fácil:

Agora, suponha que a nossa afirmação vale para . Queremos calcular

Multiplicando a primeira coluna por e somando em todas as outras colunas, teremos

Agora, nosso objetivo é zerar todos os termos abaixo do . Para isso, faremos o seguinte: multiplicar a linha por e somar com a linha . Feito isso para todo , ficaremos com

Se você não entendeu esta passagem, faça para um caso pequeno, , por exemplo. Prosseguindo, podemos colocar os em evidência,

Expandindo este determinante pela primeira linha (ou coluna, tanto faz), aplicamos a hipótese de indução e obtemos

Demonstração alternativa

Esta demonstração, também por indução, é bem interessante e foi apresentada por um comentário de Carlos Shine neste mesmo post.

Considere a mesma matriz referida anteriormente. O truque consiste em interpretar como um polinômio em . Então, por motivos psicológicos, faça . Expandindo o determinante de pela última coluna, teremos um polinômio de grau . Note que o coeficiente do termo líder () é o determinante

que já sabemos calcular pela hipótese de indução. Assim, se fatora como

onde são as raízes de . Ora, mas as raízes de são justamente . Para ver isto, basta notar que se substituirmos a coluna (ou seja, a coluna com as potências de ) na última coluna de , o determinante irá se anular. Logo

Até.