Conjuntos de Cantor generalizados

Uma das construções mais clássicas da matemática é a construção do Conjunto de Cantor. Se você nunca viu um conjunto de Cantor, talvez gostasse de clicar aqui ou aqui. Também fizemos um post sobre o Carpete de Sierpinski, que nada mais é do que uma generalização bidimensional do conjunto de Cantor clássico.

Objetivos e enunciados

Antes de tudo, generalizemos o conceito Conjunto de Cantor na reta.

Definição.  Um conjunto de Cantor generalizado em  é um subconjunto tal que

1. é compacto;
2. é totalmente desconexo;
3. é não-enumerável.

Totalmente desconexo, na reta, significa apenas que o conjunto não contém nenhum intervalo (não-degenerado, i.e., que não se reduz a um único ponto). Cabe observar que esta definição não é padrão, e há muita ambiguidade no termo ``generalizado''.

Qual é o interesse em se construir tais conjuntos? A resposta mais simples é que conjuntos de Cantor fornecem exemplos muito estranhos e contra-intuitivos em Teoria da Medida. Por exemplo, um resultado básico é que todo subconjunto enumerável em  possui medida nula. O conjunto de Cantor clássico produz um contra-exemplo para a recíproca, isto é, é um conjunto não-enumerável mas com medida nula. Vamos nos dedicar neste post a provar o seguinte teorema.

Teorema. Dado , existe um conjunto de Cantor generalizado com medida (de Lebesgue) .

Apenas uma observação: vamos usar a medida de Lebesgue na reta, mas se você não está familiarizado com isto, pode (e deve!) pensar que a medida de um intervalo é simplesmente o seu comprimento; como vamos calcular apenas medidas de intervalos e uniões de intervalos, isto não deve atrapalhar a compreensão do texto.

Decomposição Primária e EDO's

E aí galerinha do LeGauss

Conforme os estudos vão ficando mais tensos os post vão ficando mais escassos hehe, mas vou tentar me policiar para postar mais (agora que as aulas estão começando etc).

Nesse post vou provar o que é basicamente o teorema da decomposição primária e usar isso para provar que o espaço de soluções de uma EDO de ordem linear com coeficientes constantes tem dimensão , o que é na verdade uma aplicação legal do teorema de decomposição primária.

Eu tentei explicar tudo bem direitinho (quando não expliquei deixei claro o que estava assumindo) durante o post, principalmente coisas que são "assumidas" (na verdade completamente omitidas) na maioria dos livros de cálculo e EDO's que você vê por aí, esse teorema é bem fundamental, então se você assume muitas coisas tudo parece besteira. É normal você perguntar "Qual é a solução de uma EDO desse tipo?" para uma pessoa e ela saber responder, mas como viu um método bem ad hoc (thumbs up para o meu latim xD) de como encontrar a solução, não saber justificar por que todas soluções são realmente dadas por aquela forma. É nesse sentido que esse teorema é legal.

Depois desse papo vamos à matemática.

O Teorema Fundamental da Álgebra (prova diferencial)

E aí galerinha.

Decidi postar uma prova que eu li no livro do Milnor "Topology from the Differentiable Viewpoint" do teorema fundamental da álgebra usando apenas um pouco de análise, vamos à prova.

é irracional

Enquanto meu outro post não sai, aqui vai uma demonstração bonitinha e fácil. Tudo o que vamos usar são alguns resultados elementares de séries infinitas.

A série 1/p diverge

Olá galerinha do LeGauss.

Vou postar hoje um resultado muito legal e importante da teoria de números que nos fala um pouco sobre a "densidade" dos números primos entre os números naturais, se é que isso faz sentido assim solto.

O que quero dizer é: Sabemos que a série diverge, mas que por exemplo a série converge. Ou seja em certo sentido ao deixarmos só os números naturais que são quadrados nos denominadores da nossa série, nós tiramos muitos números, tantos, que a nossa série antes divergente agora converge.

O teorema que vou provar agora mostra que deixar só os primos nos denominadores ainda deixa nosso conjunto de números gordinho. hehe

Teorema:

A série com percorrendo todos os números primos, diverge.

O volume da bola e esfera unitária n-dimensional

Olá galerinha do LeGauss.

Hoje vou provar um resultado meio bizarro e que o único requisito para seu entendimento é um pouco de cálculo III (só a ideia de integrais múltiplas) e uma boa visão geométrica das coisas que vão acontecer.

Vamos determinar o volume da bola unitária e a área da esfera unitária .

Vamos à prova.

É uma bazuca, mas é legal

Olá galerinha do LeGauss

Em um post anterior afirmei que um certo número era claramente finito:


Se quiser tente provar, não deveria ser mto difícil, um esquema parecido com o que eu fiz no meu post pode ajudar.

Mas nesse post vou utilizar o teorema do ponto fixo de Banach que eu já demonstrei aqui no blog (se não viu veja aqui).

Vamos lá!

O Teorema do Ponto Fixo de Banach

Olá galerinha do LeGauss.

Nesse post vou provar um teorema famoso e bastante utilizado sobre contrações em espaços métricos completos.

Se você não sabe o que é um espaço métrico dê uma olhada nesse link, na verdade é simplesmente um espaço dotado de uma métrica, uma função que diz a distância de dois pontos, que respeita certas propriedades que estão aí nesse link.

O enunciado do Teorema do Ponto Fixo de Banach diz o seguinte:

Seja um espaço métrico completo munido da métrica e , uma contração contínua, isso é, uma função contínua tal que tal que . Então possui um único ponto fixo , i.e. .

Então vamos à prova.

Um problema divertido sobre convergência

Olá galerinha do LeGauss nesse post vou trazer um problema divertido que eu vi no livro Putnam and Beyond mas não sei se o problema é mesmo da Putnam. =P

Seja a sequência:



A pergunta é. Ela converge?

Calculando séries infinitas

Hey galerinha do LeGauss.

Vou postar hoje uma aplicação interessante da teoria de séries de Fourier.
Vou introduzir rapidamente o assunto sem desenvolver teoria alguma, e partiremos direto para a aplicação.

Mãos à obra!

A razão dourada e a sequência de Fibonacci

O singelo número é muito mais presente em sua vida do que você pensa. Não é a toa que é chamado de "A razão dourada" ou "A proporção áurea". Apesar deste número ter uma história muito curiosa (e controversa), neste pequeno artigo vou me ater a explicar uma forma de encontrá-lo, usando sequências.

Para saber mais sobre alguns aspectos históricos e curiosidades de como esse número aparece no nosso cotidiano, clique aqui para acessar o link da Wikipédia. Neste link também está contido uma outra forma de achar , que os gregos conheciam.

Não esqueça que a maioria dos materiais contidos na internet são baseados em livros. Sugiro que anote a bibliografia e procure os livros citados. São muito divertidos.

Chega de blá blá blá e vamos fazer matemática.

e a sequência de Fibonacci

A Sequência de Fibonacci foi originalmente criada desta forma:

Num lugar fechado coloca-se um casal de coelhos. Supondo que em cada mês, a partir do segundo mês de vida, cada casal dá origem a um novo casal de coelhos, ao fim de um ano, quantos casais de coelhos teremos no total? (Supondo que eles não morrem)

Se você tentar resolver este problema, surgirá uma sequência desta forma:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Não é difícil perceber que para obter o próximo termo da sequência basta somar os dois anteriores. Vamos dar nome aos bois.

O n-ésimo termo da sequência será chamado . Então, a sequência de Fibonacci é definida recursivamente na forma:

, ,

Até aqui, nada demais, aposto que muitos de vocês que estão lendo já tinham visto isso antes. O interessante vem agora. Vamos dividir os termos da sequência pelos seus antecessores e ver o que acontece, isto é vamos fazer .

















Percebeu alguma coisa? Conforme aumentamos n, estamos nos aproximando de , a razão dourada! Isso nos leva a uma suspeita; seria natural pensar que

De fato, é o que vamos nos ocupar em provar daqui pra frente. E aqui vai entrar o Cálculo (de sequências).

Defina a sequencia como . Chame o limite de de . Isto é:

Sabemos que . Dividindo ambos os lados por , obtemos

Multiplicando o primeiro membro da equação por e rearranjando os termos, ficamos com:

Que é o mesmo que:

Do Cálculo sabemos que dada uma sequência , (isto é um caso particular de um teorema). Portanto, fazendo n tender a infinito na equação obtida, ficaremos com:

Pronto tem que ser uma solução desta equação. Resolvendo-a, chegaremos a 2 resultados, e . O número que procuramos é o primeiro deles, pois o segundo é negativo e . Se você expandir em notação decimal, chegará em 1.61803...

Convergência

Na verdade, apesar de ser bem legal e funcionar assim, existe um pequeno problema nesta demonstração (na verdade é um problema bem grave). Eu não provei que a sequência converge.

A demonstração desse fato é um tanto intricada e extensa, não vou fazer aqui no post. Mas, se você estiver interessado, eis um guia para a demonstração:

1. Mostre que, para todo n, .
2. Mostre que tem o mesmo sinal que , para todo n.
3. Usando o passo 2, mostre que a subsequência é decrescente e que a subsequência é crescente.
4. Usando o passo 1, conclua que e convergem.
5. Usando o passo 4, conclua que converge.

Você vai usar alguns teoremas de Cálculo, então esteja com seu livro em mãos. :b

Até.