terça-feira, 17 de fevereiro de 2009

Bolas quadradas


Não é só em futebol que falamos em bolas quadradas, na matemática uma bola também pode ser quadrada. O interesse por esse post nos leva a um dos estudos mais interessantes da matemática: os espaços métricos. De forma simples, um espaço métrico nos remete à noção de uma coleção em que podemos dizer quão longe um objeto está de outro. Por exemplo, quando dizemos quão longe nossa mesa está das garrafas de cerveja. Mas como fazer isso? Definindo uma distância (no caso, a fita métrica).

Para definir um espaço métrico precisamos de duas coisas: um conjunto, que será a coleção de objetos, e uma função, definida nesse conjunto todo, cuja imagem indica a distância entre dois objetos. Algo assim: se é um conjunto, então definimos a função



Esta função é o que entenderemos como distância. Se , então a distância entre e é . Para que esta função possa ser encarada como uma distância, é necessário que ela satisfaça alguns axiomas:
  1. sse .
  2. .
  3. .
Se definida corretamente, a função é uma boa regra para entendermos como distância.

Que tal mais algo mais experimental? Vamos tentar escrever a função distância para o conjunto de vetores de um espaço euclidiano? Então, suponha que seja um conjunto de vetores; vamos adicionar um produto escalar já definido: . A partir do produto escalar, definimos a norma de um vetor:



Sendo assim, podemos definir a distância entre dois vetores e como



uma vez que a subtração está definida. Como a norma é sempre real, a imagem de é não negativa para quaisquer dois vetores e .

Diversas coisas que utilizamos em matemática dependem dessa noção, embora isso possa não ter ficado ainda muito claro. Por exemplo, qual a definição de uma circunferência? Vamos juntos:
Circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que equidistam de um mesmo ponto. A distância até o ponto é chamada de raio e o ponto é chamado de centro.
Ótimo. Como é a forma de uma bola então? Arredondada, sem lados, esféricamente simétrica. Esfericamente?... Note que a imagem que temos de uma bola depende intimamente da definição da distância: se modificássemos a função distância, mas continuassemos a procurar por um lugar geométrico formado pelos pontos equidistantes a um dado ponto, obteríamos o que?

Mais uma vez, vamos experimentar! Vamos definir uma função distância bem problemática. Vamos trabalhar no plano, com . E para facilitar, colocamos o centro da circunferência na origem, ou seja, no ponto . Para dois vetores e , sugerimos a seguinte função:



Qual a primeira pergunta que somos obrigados a responder? Se ela satisfaz os axiomas dados acima. Talvez o mais complicado seja verificar a desigualdade triangular, mas vamos deixar isto de lado um pouco. Vamos ver então o que é uma circunferência se estivermos lidando com esta função distância?

Primeiramente, podemos formular este problema da seguinte forma: gostaríamos de obter todos os pares de reais que satisfazem a equação



em que é o raio dessa circunferência. E qual a solução para este problema aparentemente simples? Sim, a solução está graficada à direita (clique na figura para aumentá-la): uma bola quadrada! O gráfico mostra a solução para o caso em que o raio é 2.

Não é difícil prever que a solução seria assim, basta esquematizar as regiões independemente. Por exemplo, uma das coordenadas mantém-se igual ao raio enquanto a outra deve variar seu valor de a . Esquematizando quais as possíveis combinações, chegamos à conclusão de que o lugar geométrico que obedece essas novas regras é um quadrado.

O gráfico foi obtido com um script python. Sabe o que é mais legal? Testar novas funções e ver o resultado da brincadeira. Por isso, segue abaixo o script python já pronto pra gerar um gif com o resultado usando o gnuplot. O script também já fornece a superfície gerada pelas distâncias dos pontos, caso alguém possa querer utilizar.

Importante: o script está preparado para encarar sistemas com Windows e Linux, basta que o gnuplot esteja instalado.

Download

E o que fazemos com a bola quadrada?!



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Boa diversão!




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