sexta-feira, 3 de abril de 2009

O Hotel de Hilbert

O Hotel de Hilbert é um "paradoxo" originalmente criado pelo matemático alemão David Hilbert.

O paradoxo

Suponha que você está de viagem em um lugar muito estranho na Alemanha, já está tarde e você precisa de um quarto de hotel. Depois de algum tempo procurando, você descobre que todos os hotéis estão lotados. Um senhor muito respeitável lhe recomenda que passe no hotel de um velhinho chamado Hibert e te dá o endereço.

Chegando lá, o velho Hilbert diz a você que seu hotel também está com todos os quartos ocupados. Mas antes de você lhe agradecer e virar-lhe as costas, Hibert exclama:

"Mas meu hotel tem infinitos quartos! Posso arranjar um quarto para você.

A solução



Supondo que você não questione a sanidade do velho e acredite no que ele disse, o que o fato de ter infinitos quartos muda se todos estão ocupados?

Bem, muda tudo. Quase toda a lógica intuitiva que temos para conjuntos finitos simplesmente não se aplica a conjuntos infinitos.

E então, como você acha que Hibert resolveu este problema sem despejar ninguém que já estava hospedado?

A solução não é tão difícil. De fato, se transferíssemos o cliente do primeiro quarto para o segundo, o cliente do segundo para o terceiro, etc... sempre transferindo um cliente para o próximo quarto adjacente, ninguém ficaria sem quarto, afinal existem infinitos deles. Além disso, conseguimos liberar o quarto 1.

Viajando um pouco mais, e se você trouxesse sua família infinita com você? Precisaria de infinitos quartos. É "possível" liberar infinitos quartos; você sabe como? Se alocarmos o cliente do quarto 1 para o quarto 2, o do quarto 2 para o quarto 4, o do quarto 3 para o quarto 6, etc... o do quarto n para o quarto 2n, ficaríamos com todos os quartos ímpares vagos. Mas quantos números ímpares existem? Infinitos! Portanto resolvemos nosso problema.

Um pouco de matemática


Na verdade, o que fizemos até agora foi matemática travestida de historinha. Alguém já se perguntou como se define um conjunto infinito? Basicamente, a definição diz que um conjunto é infinito se para algum conjunto [*], existe uma função bijetora de A em B. Isto é:



Onde determina uma correspondência 1 a 1 nos conjuntos A e B, ou seja, é bijetora.

Se o conceito de bijetor ainda não ficou muito claro, imagine uma cesta de laranjas e uma cesta de maçãs. Se eu associo uma laranja para cada maçã e existem exatamente o mesmo número das duas em cada cesta, então esta é uma associação bijetora, 1 a 1.

Esta definição (de conjunto infinito) não é muito óbvia mas faz muito sentido, é mais fácil entender com um exemplo.

Temos por intuição que o conjunto dos números naturais () é infinito. Além disso, também temos por intuição que o conjunto dos números pares () é infinito. Sabemos também que o conjunto dos pares está contido no conjunto dos naturais, isto é, . Portanto, para mostrarmos que é infinito basta achar uma função bijetora entre os dois conjuntos.

De fato,


é uma função bijetora (você consegue mostrar porquê?).

Resumindo, como pode um conjunto ter uma correspondência 1 a 1 com um outro "menor" que ele? Sendo infinito, oras...

Até.

Nota:

[*] B tem que ser subconjunto próprio, isto é, não pode ser igual a A.

P.S.

Leia também http://mathworld.wolfram.com/InfiniteSet.html.
Para me dar de presente: http://www.mathematicianspictures.com/DAVID_HILBERT/Hilberts_Hotel.htm.




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