quarta-feira, 12 de agosto de 2009

A razão dourada e a sequência de Fibonacci

O singelo número é muito mais presente em sua vida do que você pensa. Não é a toa que é chamado de "A razão dourada" ou "A proporção áurea". Apesar deste número ter uma história muito curiosa (e controversa), neste pequeno artigo vou me ater a explicar uma forma de encontrá-lo, usando sequências.


Para saber mais sobre alguns aspectos históricos e curiosidades de como esse número aparece no nosso cotidiano, clique aqui para acessar o link da Wikipédia. Neste link também está contido uma outra forma de achar , que os gregos conheciam.

Não esqueça que a maioria dos materiais contidos na internet são baseados em livros. Sugiro que anote a bibliografia e procure os livros citados. São muito divertidos.

Chega de blá blá blá e vamos fazer matemática.


e a sequência de Fibonacci



A Sequência de Fibonacci foi originalmente criada desta forma:


Num lugar fechado coloca-se um casal de coelhos. Supondo que em cada mês, a partir do segundo mês de vida, cada casal dá origem a um novo casal de coelhos, ao fim de um ano, quantos casais de coelhos teremos no total? (Supondo que eles não morrem)


Se você tentar resolver este problema, surgirá uma sequência desta forma:


1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Não é difícil perceber que para obter o próximo termo da sequência basta somar os dois anteriores. Vamos dar nome aos bois.

O n-ésimo termo da sequência será chamado . Então, a sequência de Fibonacci é definida recursivamente na forma:


, ,

Até aqui, nada demais, aposto que muitos de vocês que estão lendo já tinham visto isso antes. O interessante vem agora. Vamos dividir os termos da sequência pelos seus antecessores e ver o que acontece, isto é vamos fazer .

















Percebeu alguma coisa? Conforme aumentamos n, estamos nos aproximando de , a razão dourada! Isso nos leva a uma suspeita; seria natural pensar que



De fato, é o que vamos nos ocupar em provar daqui pra frente. E aqui vai entrar o Cálculo (de sequências).

Defina a sequencia como . Chame o limite de de . Isto é:



Sabemos que . Dividindo ambos os lados por , obtemos



Multiplicando o primeiro membro da equação por e rearranjando os termos, ficamos com:



Que é o mesmo que:



Do Cálculo sabemos que dada uma sequência , (isto é um caso particular de um teorema). Portanto, fazendo n tender a infinito na equação obtida, ficaremos com:



Pronto tem que ser uma solução desta equação. Resolvendo-a, chegaremos a 2 resultados, e . O número que procuramos é o primeiro deles, pois o segundo é negativo e . Se você expandir em notação decimal, chegará em 1.61803...


Convergência



Na verdade, apesar de ser bem legal e funcionar assim, existe um pequeno problema nesta demonstração (na verdade é um problema bem grave). Eu não provei que a sequência converge.

A demonstração desse fato é um tanto intricada e extensa, não vou fazer aqui no post. Mas, se você estiver interessado, eis um guia para a demonstração:

1. Mostre que, para todo n, .
2. Mostre que tem o mesmo sinal que , para todo n.
3. Usando o passo 2, mostre que a subsequência é decrescente e que a subsequência é crescente.
4. Usando o passo 1, conclua que e convergem.
5. Usando o passo 4, conclua que converge.

Você vai usar alguns teoremas de Cálculo, então esteja com seu livro em mãos. :b

Até.




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