sexta-feira, 29 de janeiro de 2010

A equação quadrática e suas soluções


Olá galerinha do LeGauss!
Nesse post vou escrever sobre as soluções de uma equação que acho que todo mundo conhece.



Bem, vou discutir sobre uma forma intuitiva e posteriormente geométrica (ou seja mais intuitiva ainda) de enxergar a solução dessa equação.

Bem, eu aposto que como eu, você também odeia decorar fórmulas. Isso sempre me irrita, principalmente porque em geral existe um jeito muito mais intuitivo de se visualizá-las e realmente compreendê-las.
Quando eu era ainda um épsilon [1] no ensino fundamental me ensinaram que as soluções para a equação acima eram dadas por:



É... isso assusta qualquer criança, não é à toa que grande parte das pessoas "não gosta" de "matemática". [2]

Bem, chega de papo e vamos ao que interessa!

Primeiro vou dividir a minha equação toda pelo coeficiente do termo de maior grau para as coisas não ficarem tão feias,


Agora vamos completar o quadrado, veja que nossa equação é equivalente a:


Agora é só manipulação algébrica...


Trocando e por e respectivamente, temos:


Agora é só deixar todo mundo dentro da raiz sobre e tirar o de dentro da raiz e temos a nossa fórmula!


Bem, para dizer a verdade, na Grécia antiga já havia pensadores (= matemáticos [3]) que já tinham resolvido essa equação, dando para ela uma forma completamente geométrica!
Na verdade o nosso próprio desenvolvimento já deu a dica sobre essa geometria por trás da solução, nós vamos completar quadrados.

Quando nós dissemos lá em cima que:

(Tá eu sei que eu não disse isso com todas as palavras, espero que você tenha enxergado o que eu fiz! Se não tinha enxergado agora enxergou.)

Na verdade estávamos dizendo que a área desse quadrado:




Podia ser dividida dessa forma!




E pela nossa equação:


Ou seja:




Incrível não?

Temos agora dois quadrados iguais, vamos chamar o lado do nosso quadrado de , será que dá para calcular ele?
É claro que dá! Se você respondeu não você pode se jogar da ponte da sua cidade.

Vemos pelo quadrado roxo que:


E sabemos pelo quadrado verde que:

Bem, está feito certo? Daqui para frente é exatamente igual à primeira demonstração.[4]

Espero que tenham gostado!
Até.


Notas

[1] Épsilon é como o matemático Paul Erdös se referia às crianças.
[2] O que eu quis dizer é que não dá para desgostar de matemática, sem nem fazer ideia do que é, eu mesmo só fui realmente conhecer a matemática depois de já dentro da faculdade.
[3] Antigamente, e para alguns dos matemáticos ainda hoje, a matemática se misturava muito com a filosofia e muitos filósofos eram também matemáticos.
[4] Existe uma diferença, com a solução geométrica você só encontra soluções que fazem sentido geometricamente, ou seja você não consegue achar as soluções negativas, muito menos complexas!




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