Uma irredutibilidade nem tão simples assim

Hey galerinha do LeGauss!
Enquanto estudava polinômios e sua irredutibilidade, vi um exemplo que de acordo com o Adilson (autor do livro Introdução à álgebra publicado pelo IMPA) era bem simples de enxergar. Veremos o que vocês acham.

Primeiro precisarei falar rapidamente sobre um teste de irredutibilidade que é fácil de compreender (só não vou prová-lo).

Critério de Eisenstein:

Dado o polinômio:

Se existir um primo tal que , e , então é irredutível.

Além disso, seja:

É claramente um automorfismo entre os anéis e é irredutível se e somente se, também o for.

Bem, agora vamos ao que interessa.

Seja um número primo, afirmamos que:


É irredutível, pois é irredutível de acordo com o critério de Eisenstein pelo primo .

Prova:

Primeiro denotaremos:


Note que e que , logo, cumprem o critério de Eisenstein e não precisaremos nos preocupar com eles.

Agora, veja que:

Isso não é tão simples de ver, mas pense em cada parcela de como um binômio de Newton, e você conseguirá essa fórmula.

Agora utilizando a relação de Stifel,obtemos:


E somando todas as equações desse sitema obtemos:


E agora precisamos provar que:



Para isso veja que:



Sabemos que o binômio é inteiro logo vai dividir alguém na parte de cima da fração,mas sabemos que não , pois ele é primo.

Logo:


Ou seja:

Bem, acho que vocês concordam comigo agora que isso não é exatamente SIMPLES! huahuaha
O importante mesmo, é pensar em tudo que você lê e não pular as coisas displicentemente só porque o autor falou que é simples.

Até!