Um truque legal para o cálculo de uma integral difícil

Olá galerinha do LeGauss!

Hoje vou postar um truque legal (e bem conhecido) para calcularmos uma integral imprópria de uma função de uma variável cuja primitiva é impossível de achar.

Bem então primeiro vamos elevar essa integral ao quadrado:



Agora, fazendo uma "mudança de variáveis", se é que podemos falar assim, note que esse valor é exatamente o mesmo que:


Agora pensando em variando e fixo, podemos passar a integral da esquerda para dentro da integral da direita pela linearidade da integral, pois como está fixo a integral da esquerda é simplesmente uma constante.


Com o mesmo pensamento, podemos passar para dentro da integral em .



E isso é igual a:


Agora realizando uma mudança de variáveis, mudando para coordenadas polares temos que isso é:



Onde o aparece pois ele é o jacobiano da função de mudança de variáveis, das cartesianas, para as polares.

Note que o integrando é constante em relação a então podemos fazer:



E essa integral a gente sabe resolver usando substituição não é?



Por final:


C.Q.D!
Espero que tenham curtido ;^)