A transposta desta matriz é também denominada da mesma forma. Neste artigo, vamos provar que
Poucos requisitos são necessários para compreender esta demonstração. Você precisa saber que:
- Somar um múltiplo de uma coluna (recip. linha) em outra coluna (recip. linha) não altera o determinante.
- Se todas as entradas de uma coluna estão multiplicadas por
, então "
- Expandir um determinante por linha ou coluna.
A demonstração deste fato segue por indução em
. A base de indução, 
, é fácil:
Agora, suponha que a nossa afirmação vale para
. Queremos calcular
Multiplicando a primeira coluna por
e somando em todas as outras colunas, teremos
Agora, nosso objetivo é zerar todos os termos abaixo do
. Para isso, faremos o seguinte: multiplicar a linha 
por 
e somar com a linha 
. Feito isso para todo 
, ficaremos com
Se você não entendeu esta passagem, faça para um caso pequeno,
, por exemplo. Prosseguindo, podemos colocar os 
em evidência,
Expandindo este determinante pela primeira linha (ou coluna, tanto faz), aplicamos a hipótese de indução e obtemos
Demonstração alternativa
Esta demonstração, também por indução, é bem interessante e foi apresentada por um comentário de Carlos Shine neste mesmo post.
Considere a mesma matriz
referida anteriormente. O truque consiste em interpretar 
como um polinômio em 
. Então, por motivos psicológicos, faça 
. Expandindo o determinante de pela última coluna, teremos um polinômio 
de grau . Note que o coeficiente do termo líder (
) é o determinante
se fatora como
são as raízes de . Ora, mas as raízes de são justamente 
. Para ver isto, basta notar que se substituirmos a coluna 
(ou seja, a coluna com as potências de 
) na última coluna de , o determinante irá se anular. Logo
14 comentários:
Que roubo! Muito bom! hehe
De longe parece uma coisa tão simples não é...
Muito legal
Olá LeGauss! Muito interessante seu blog!
Faça-nos também uma visita - clavedepi.blogspot.com
O que acha de fazermos uma parceria?
Cara, teve isso na minha prova pra vir pra X e eu num sabia ...
(agora, eu juro que a primeira coisa que eu li foi "Determinante de Voldemort")
Eu conheço outra demonstração: seja $x = a_n$. Então o determinante vira um polinômio em $x$, cujo grau é $n-1$ (é só desenvolver por Laplace na última coluna, a do $x$). Aliás, dá para ver nesse desenvolvimento que o termo dominante vai ser o determinante de Vandermonde com $a_1$ até $a_{n-1}$, de modo que o determinante/polinômio é o Vandermonde com $n-1$ caras vezes o produto de $x - raiz$.
Mas quais são as raízes? $a_1,a_2,\dots,a_{n-1}$ (se substituir $x$ por cada um deles temos duas colunas iguais e o determinante zera). Então o determinante/polinômio é o Vandermonde de $n-1$ caras vezes $(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})$ e o resultado segue por indução.
Po essa prova é muito legal também, ver o a_n como uma indeterminada
Nossa, gostei muito dessa demonstração do Shine!
Estejam livres para colocar no blog, caso queiram.
Coloquei ;-)
Amigo muito boa a demosntração você é formado em (matemática?).
Se a pergunta foi para mim, a resposta é não... ainda.
Salvou um exercicio da minha lista de controle multivariável!
Muito obrigado! XD
Na demonstração alternativa, há uma correção a ser feita no polinômio p(x).
Em vez de r_n é r_n-1, assim fica:
p(x) = D(x - r_1)...(x - r_(n-1))
{1 1 1.2 3 4. 4 9 16]
seus lindos <3
Postar um comentário