sábado, 20 de março de 2010

Uma prova para o Determinante de Vandermonde

Chamamos de Matriz de Vandermonde uma matriz da forma


A transposta desta matriz é também denominada da mesma forma. Neste artigo, vamos provar que


Poucos requisitos são necessários para compreender esta demonstração. Você precisa saber que:

  1. Somar um múltiplo de uma coluna (recip. linha) em outra coluna (recip. linha) não altera o determinante.
  2. Se todas as entradas de uma coluna estão multiplicadas por , então " sai pra fora do determinante".
  3. Expandir um determinante por linha ou coluna.
Clique aqui, caso tenha alguma dúvida sobre as propriedades acima.

A demonstração deste fato segue por indução em . A base de indução, , é fácil:



Agora, suponha que a nossa afirmação vale para . Queremos calcular



Multiplicando a primeira coluna por e somando em todas as outras colunas, teremos



Agora, nosso objetivo é zerar todos os termos abaixo do . Para isso, faremos o seguinte: multiplicar a linha por e somar com a linha . Feito isso para todo , ficaremos com



Se você não entendeu esta passagem, faça para um caso pequeno, , por exemplo. Prosseguindo, podemos colocar os em evidência,



Expandindo este determinante pela primeira linha (ou coluna, tanto faz), aplicamos a hipótese de indução e obtemos




Demonstração alternativa

Esta demonstração, também por indução, é bem interessante e foi apresentada por um comentário de Carlos Shine neste mesmo post.

Considere a mesma matriz referida anteriormente. O truque consiste em interpretar como um polinômio em . Então, por motivos psicológicos, faça . Expandindo o determinante de pela última coluna, teremos um polinômio de grau . Note que o coeficiente do termo líder () é o determinante




que já sabemos calcular pela hipótese de indução. Assim, se fatora como




onde são as raízes de . Ora, mas as raízes de são justamente . Para ver isto, basta notar que se substituirmos a coluna (ou seja, a coluna com as potências de ) na última coluna de , o determinante irá se anular. Logo




Até.




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