domingo, 18 de abril de 2010

O Teorema do Centróide de Pappus

Olá galerinha do LeGauss.

Vou provar hoje um teorema útil para calcular sólidos de rotação.

O teorema do centróide de Pappus diz que o volume gerado pela rotação de uma figura ao redor de um eixo (no mesmo plano que ela e que não a intercepta) é dado por:



Onde é a distância do centróide da figura (o centro de massa) até o eixo de rotação e é a área da figura.

O centróide é dado pelas seguintes equações no caso 2-dimensional:



Agora vamos a prova:

Inicialmente temos a seguinte situação:


Vamos escolher de forma "malandra" que nosso segundo eixo passe pelo centro de massa. Repare que isso não resulta em nenhuma perda de generalidade:


Agora, dividimos nossa figura em vários retangulozinhos de base e altura .


Note que o volume do nosso sólido de rotação vai ser a soma de todos os anéis que esses retângulos gerarão ao darem a volta no eixo.

Vamos chamar de o volume desses anéis, logo temos:


Eu joguei fora no meio dessas contas um termo do tipo , vendo isso da forma Leibniz de lidar com as coisas, esse cara é um infinitesimal de ordem superior e a integral dele continua sendo um infinitesimal. haha
Mas isso é facilmente formalizado usando séries infinitas, se quiser faça as contas aí. Além disso eu chamei , caso alguém não tenha entendido.

Repare o que achamos então:



Que é exatamente a fórmula que desejávamos.
Espero que tenham curtido até. ;^)

Link:
Se você gostou do teorema veja também o que o blog Fatos Matemáticos tem a dizer sobre ele =P

Fatos Matemáticos - O Elegante Teorema de Pappus





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