Um truque para somar potências

A matemática é cheia de truques (também conhecidos como ``roubos'' pelos alunos). Neste post quero apresentar um truque muito interessante para encontrar fórmulas fechadas para somas de potências de números inteiros positivos. Isto é, suponha, por exemplo, que queremos uma fórmula fechada para a expressão

Existem diversas formas de encontrá-la. Uma delas você vai conhecer agora.

Primeiramente, analisemos um problema mais simples: somar os primeiros números naturais. Isto é, vamos achar a fórmula

O jeito mais fácil de fazer isso, é o famoso ``truque do Gauss'', que pode ser generalizado para calcular a soma de qualquer progressão aritmética. Mas aqui, vamos encontrar esta fórmula de outro jeito. A razão disto ficará mais clara posteriormente.

Vamos considerar, por um momento a soma dos primeiros quadrados (eu não estou ficando louco, é sério). É claro que

Agora, façamos a mesma subtração acima de uma outra maneira.

Subtraindo as colunas e usando o resultado anterior, teremos que

Mas

Opa! Então

Assim, recuperamos (de um jeito muito estúpido) a soma dos primeiros números naturais. O incrível é que este processo pode ser, facilmente, generalizado para obter somas de potências quaisquer! A única restrição é que devemos conhecer as fórmulas para as somas de todas as potências anteriores. Vejamos como isto funciona no caso quadrático, vamos calcular

De maneira análoga à anterior, sabemos que

Logo

Agora basta manipular a expressão da direita para obter

Incrível, não? Agora, que tal encontrar a fórmula para a expressão do início deste post? Boa sorte!