O Teorema do Ponto Fixo de Brouwer

Olá galerinha do LeGauss!

Não tenho postado muita coisa já que tenho estudado muito e estou meio sem tempo, mas venho me redimir com esse post. Vou provar assumindo alguns resultados básicos sobre homologia o famoso teorema do ponto fixo de Brouwer, o enunciado diz o seguinte.

Teorema do Ponto Fixo de Brouwer

Qualquer mapa contínuo possui um ponto fixo, isso é existe um com .

Lembrando que

Mas Gabriel, esse teorema é muito bizarro de provar eu não vou enteder p%$&#@ nenhuma não?

Na verdade não, estou fazendo esse post justamente porque acho a demonstração do teorema bem geométrica e fora a teoria que ela utiliza (homologia) ela não é muito complicada. Aliás acho que esse teorema é um ótimo estímulo para se começar a aprender homologia, pois os resultados que eu assumo para prová-lo são bem iniciais.

Para provar o teorema eu vou provar antes um lema utilizando, como eu disse antes, uma teoria básica de homologia. Se você não faz ideia do que é o , o n-ésimo grupo de homologia de um espaço topológico , você tem três opções. Dar uma lida no artigo da wikipedia, ou seguir lendo o texto sem saber o que ele é, pois eu não vou usar a ideia do que é o grupo de homologia, mas acho que isso seria meio chato ou ainda parar de ler isso, pular o lema e talvez ler só a demonstração do teorema assumindo que o lema é verdade. =P

(Se der depois escrevo um post falando um pouco sobre homologia, acho que já falei homologia 15 vezes huahuaha)

Fatos que usarei:

Dois mapas homotópicos e induzem o mesmo homomorfismo nos grupos de homologia de e (o homomorfismo induzido por um mapa contínuo é a imagem por de uma cadeia em basicamente, se você já sabe um pouco sobre grupo fundamental deve sacar bem o que é)

Isso é é igual a .

O outro fato que usarei é que se é apenas um ponto



Similarmente

e para

O til em cima do é só uma bobeira que eu nem vou explicar pois pra

Note que pelo primeiro fato se dois espaços são homotópico equivalentes, i.e. existem duas funções e com e então seus grupos de homologia são isomorfos.

Lema: Não existe retração de em .

Lembrando que uma retração é uma função contínua de para tal que consequentemente se é a inclusão .

Demonstração:

Caso existisse essa retração a composição



Deveria ser a identidade em mas , pois é homotópico equivalente a um ponto. Isso claramente gera uma contradição.

Demonstração do Teorema:

Suponha que exista uma função contínua com para todo . Nós conseguimos definir uma função da seguinte maneira. é o ponto onde a semireta intercepta o bordo de .



Claramente essa função é contínua pois pequenas pertubações em causam pequenas pertubações em pela continuidade de e claramente . Logo ela é uma retração de em , absurdo.

É isso. Os argumentos do teorema são super geométricos e mesmo a prova do lema é bem fácil, só que precisamos de alguns resultados não tão simples da teoria de homologia. =P

Agora você já sabe que enquanto você mexe o seu café sempre tem alguma partícula lá completamente imóvel, huahuauha ou não, matemática é a maior mentira sorte que ela é bonitinha. xD

Espero que tenham curtido.

Abraço.