quinta-feira, 15 de janeiro de 2009

Construindo os números naturais - um método alternativo

Nota inicial

Antes de começar o post propriamente dito, gostaria de informar que esse post pode ser visto como uma continuação do Vazio impertinente. Sim, o que vou mostrar aqui é praticamente uma aplicação do fato do vazio não pertencer ao próprio vazio. Se não soubéssemos isso a priori, não poderíamos desenvolver o que vou mostrar aqui. Espero que gostem.

Introdução

Os números naturais surgiram do conceito mais antigo de número. Foram criados a partir da necessidade de contar. São os inteiros positivos[1]. Eles vêm da percepção de alguma propriedade comum entre duas coisas completamente diferentes. Por exemplo: o que tem em comum 3 carros e 3 laranjas? O fato de serem 3. Observe que o "três" é uma coisa completamente abstrata, não conseguimos apontar para alguma coisa e dizer: "Aquilo é o 3".

Mas em matemática, nós não podemos simplesmente ter uma "noção" do que é um número natural. Para usá-los, precisamos criá-los. Isso mesmo, precisamos construir os números naturais. E o mais legal é que já sabemos de antemão aonde queremos chegar. Que trapaça, não?

Como toda teoria matemática, nós começamos com alguns (quanto menos, melhor) axiomas, que é aquilo o que há de mais intuitivo e que não conseguimos provar. Depois de criados os axiomas, começamos a deduzir, a partir deles, as propriedades daquela teoria e provar alguns teoremas. No caso dos números naturais, a partir dos axiomas, conseguimos demonstrar as propriedades associativa, comutativa, etc.

Os Axiomas de Peano são os mais conhecidos para esse objetivo. Sua compreensão é fácil e serve para todos os propósitos.

Não obstante, o que pouca gente sabe, é que existem outras formas de se construir os números naturais. Uma que eu achei muito interessante é baseada em Teoria dos Conjuntos, onde cada número é um conjunto!

Que coisa estranha, como é isso?

Temos que começar com os nossos axiomas (que são os mesmos axiomas da Teoria de Conjuntos). Na verdade, eles não servirão ao propósito aqui, que é simplesmente dar uma ideia de como é feito o processo de se construir os números naturais. Mas quem tiver interesse, pode clicar aqui.

Sabendo que o axioma da extensão garante a existência do conjunto vazio, vamos começar a construir os números naturais!

Temos de começar pelo começo, certo? Então vamos construir o número 0 [1]. É simples, chamamos de 0 o conjunto vazio.



Agora, a partir do 0, vamos construir todos os outros números. Antes disso, precisamos definir o conceito de sucessor, que será a chave que abrirá para todos os outros números naturais.

Definição: .

Em computação e matemática, chamamos isso de função recursiva. Ou seja, o próximo elemento sempre está determinado pelo anterior. A existência desse conjunto é garantido pelo axioma do infinito.

Pronto, agora temos as nossas principais ferramentas para construirmos os números naturais: o 0 (que é o primeiro elemento) e uma fórmula que nos diz como calcular um sucessor. Vamos construir o número 1:

.

A partir do 1, você pode construir o 2, depois o 3, o 4, e assim por diante, ad infinitum. Veja:





Donde, por indução, tiramos a fórmula geral para o número n:

.

Pronto, você construiu todos os números naturais a partir da Teoria de Conjuntos. O mais legal é que ela é perfeitamente compatível com o os Axiomas de Peano, você vai chegar nos mesmos resultados.

Ainda não acabou!

Agora que nós já temos todos os números naturais à nossa disposição, que tal usá-los? O que fazemos com números? Somamos, multiplicamos, etc. Então, vou apresentar aqui como, em matemática, definimos a soma de dois números naturais, depois mostraremos algo bobo, só para ficar mais palpável.

Adição é a função [2], definida recursivamente como:

,
.

Pode parecer estranho, mas veja tente perceber que essa função coincide exatamente com o que a gente já sabe (informalmente)[3].

Então, vamos a uma aplicaçãozinha bem boba:

Mostre, pela definição, que .

Você perceberá que é só um exercício de escrita, nenhum raciocínio é envolvido aqui. Veja:



Pare um pouco aqui. Observe que a primeira parte da definição nos diz que . Então, . Continuando:

.

Ora, veja que logo mais acima, que nome demos ao sucessor de 1? Isso mesmo, o 2! Portanto, está provado, .

Seguindo o mesmo raciocínio, tente provar que . É bem simples e é um jeito interessante de formalizar aquilo que nós já tínhamos como intuição.

Até.

Notas:

[1]Originalmente, o número 0 não era tido como um número natural. Para um entendimento mais completo do número 0, clique aqui.
[2]Quando usamos essa notação: queremos dizer que o domínio dessa função é composto de pares ordenados de naturais.
[3]Informalmente, sabemos que o sucessor de um número n é n+1, então .





19 comentários:

Thiago disse...

Excelente aplicação! Espero que esta "série" ainda não tenha acabado.

Gabriel Martins disse...

Hehe ficou bem legal o post =P
Digamos q já discuti bastante isso com você uhahuauha

Rodrigo disse...

O que eu mais gostei neste post é que ele mostra claramente que na ciência não existe uma explicação que seja absoluta, mas que depende do seu conjunto arbitrário de axiomas - não tão arbitrário assim, pois eles devem fazer sentido. E que um raciocínio correto, partido de uma base correta, chega em uma solução verdadeira.
Ahhh... a ciência....

Piada disse...

No começo achei que seria igual números cardinais, mas acabou tendo outro funcionamento.

Zirc disse...

Como provar que S(a) = a + 1?

Eu fiz assim,

Seja a = 1, temos então:

S(1) = 1 + 1
S(1) = 1 + S(0) = S(1 + 0) pois 1 + a = a vem que
S(1 + 0) = S(1) e finalmente temos

1 + 1 = 2 pois S(0) + S(0) = 2

Confere?

E se a fosse igual a 3 por exemplo, como poderia ser feita a demonstração?

Vlw aí!! ;)

Zirc disse...

Também poderia esclarecer verbalmente a Nota [3] faz sentido? Meio devagar ;S

Tiago J. Fonseca disse...

Olá! Obrigado pelo comentário. Para provar que S(a)=a+1, basta substituir b=0 na definição de soma.

Na nota [3] eu quis apenas explicar que esta definição está de acordo com o que já entendemos por verdade.

Zirc disse...
Este comentário foi removido pelo autor.
Zirc disse...

Mas porque por 0? :O
Não poderia ser por 5 por exemplo?

:C

Tiago J. Fonseca disse...

Vou resolver o exercício, talvez fique mais claro:

A definição é

a+0=a;
a + S(b) = S(a+b)

Pois bem. Substitua b=0, teremos

a + S(0) = S(a+0)

Note que a+0=a pela primeira parte da definição. Então

a + S(0) = S(a)

Mas também sabemos que S(0)=1, logo

a+1 = S(a).

Anônimo disse...

isso é ué uma porcaria kkkkkkkkk

Anônimo disse...

Como provar que 1 > 0?

Anônimo disse...

amigos estou com um grande problema!
como escrevo uma função pque restrinja o resultado para um numero natural ? ex x > 0 ou seja como deixar claro para uma função que os resultado aceiaveis somente serão numeros naturais ?

agradeço a ajuda.

[]s

Anônimo disse...

Lembre-se que 1 e 0 são conjuntos. Mostre que 0 está contido em 1, mas 1 não está contido 0. Pronto! Terá mostrado que 1>0! Aproveite e use a indução para provar que x+1>x, para todo x natural.

Anônimo disse...

Mas essa construção não seria equivalente a do Peano? Pois pode-se demonstrar os axiomas de Peano (que deixariam de ser axiomas) usando tal ideia!
Interessante seria escrever uma continuação do post estendendo a ideia para a construção dos racionais a partir dessa ideia.

Anônimo disse...

talvz seja uma procaria pq vc não entendeu nada ^^
Liga não cara. Bate a cara na parede umas 100 vezes aí pode ser que ela funcione.

Anônimo disse...

Rpz poste outro post mostrando a operação de multiplicação de Naturais baseado nessa ideia. Estenda a ideia para os Inteiros e o Racionais.
E se vc encontrar uma maneira, construa os reais apartir dessa ideia (apesar de não ser aconselhável). Abraço.

Gabriel Martins disse...

A construção não é equivalente aos axiomas de Peano, isso é apenas um modelo para os números naturais baseado na teoria de conjuntos. Dessa forma você não precisa assumir os axiomas de Peano como axiomas da matemática, (somente o ZFC que já costumamos assumir) e apenas utilizamos esse conjunto e a operação definidas no post quando nos referirmos aos números naturais.
As construções dos inteiros, racionais e números reais são dadas a partir dos números naturais, então não existe necessidade de as refazer pensando dessa forma a única dificuldade aqui era a construção dos naturais.

Anônimo disse...

Não acho que a construção dos reais seja tão trivial quanto você me faz pensar acima. Mas tudo bem. Adorei o post. Desculpe responder como anônimo, é que a conta que tenho do gmail não me permite publicar aqui. Mas logo resolverei isso e então poderemos discutir ideias de maneira mais formal.

Ainda continuo acreditando que tal construção dos naturais é equivalente sim ao do Peano, no sentido de que por ela você chega no Peano e partindo do Peano você chega nela. Claro, aqui números são conjuntos; no Peano, números são elementos de um conjunto, mas ele não deixa claro se tais elementos podem ser conjuntos também. É até comum pessoas dizerem que os Naturais do Peano são os mesmos Naturais de qualquer outra construção, mas isso evidentemente é falso. O que de fato ocorre é que se pode construir uma bijeção num certo conjunto de naturais N1 levando em outro conjunto de naturais N2 (podendo até um dele não possuir o 0, enquanto o outro possui).

Enfim. Tudo isso é muito bonito! E só os puros de mente e coração entenderão a sua verdadeira beleza ;)