Construindo os números naturais - um método alternativo

Nota inicial

Antes de começar o post propriamente dito, gostaria de informar que esse post pode ser visto como uma continuação do Vazio impertinente. Sim, o que vou mostrar aqui é praticamente uma aplicação do fato do vazio não pertencer ao próprio vazio. Se não soubéssemos isso a priori, não poderíamos desenvolver o que vou mostrar aqui. Espero que gostem.

Introdução

Os números naturais surgiram do conceito mais antigo de número. Foram criados a partir da necessidade de contar. São os inteiros positivos[1]. Eles vêm da percepção de alguma propriedade comum entre duas coisas completamente diferentes. Por exemplo: o que tem em comum 3 carros e 3 laranjas? O fato de serem 3. Observe que o "três" é uma coisa completamente abstrata, não conseguimos apontar para alguma coisa e dizer: "Aquilo é o 3".

Mas em matemática, nós não podemos simplesmente ter uma "noção" do que é um número natural. Para usá-los, precisamos criá-los. Isso mesmo, precisamos construir os números naturais. E o mais legal é que já sabemos de antemão aonde queremos chegar. Que trapaça, não?

Como toda teoria matemática, nós começamos com alguns (quanto menos, melhor) axiomas, que é aquilo o que há de mais intuitivo e que não conseguimos provar. Depois de criados os axiomas, começamos a deduzir, a partir deles, as propriedades daquela teoria e provar alguns teoremas. No caso dos números naturais, a partir dos axiomas, conseguimos demonstrar as propriedades associativa, comutativa, etc.

Os Axiomas de Peano são os mais conhecidos para esse objetivo. Sua compreensão é fácil e serve para todos os propósitos.

Não obstante, o que pouca gente sabe, é que existem outras formas de se construir os números naturais. Uma que eu achei muito interessante é baseada em Teoria dos Conjuntos, onde cada número é um conjunto!

Que coisa estranha, como é isso?

Temos que começar com os nossos axiomas (que são os mesmos axiomas da Teoria de Conjuntos). Na verdade, eles não servirão ao propósito aqui, que é simplesmente dar uma ideia de como é feito o processo de se construir os números naturais. Mas quem tiver interesse, pode clicar aqui.

Sabendo que o axioma da extensão garante a existência do conjunto vazio, vamos começar a construir os números naturais!

Temos de começar pelo começo, certo? Então vamos construir o número 0 [1]. É simples, chamamos de 0 o conjunto vazio.

Agora, a partir do 0, vamos construir todos os outros números. Antes disso, precisamos definir o conceito de sucessor, que será a chave que abrirá para todos os outros números naturais.

Definição: .

Em computação e matemática, chamamos isso de função recursiva. Ou seja, o próximo elemento sempre está determinado pelo anterior. A existência desse conjunto é garantido pelo axioma do infinito.

Pronto, agora temos as nossas principais ferramentas para construirmos os números naturais: o 0 (que é o primeiro elemento) e uma fórmula que nos diz como calcular um sucessor. Vamos construir o número 1:

.

A partir do 1, você pode construir o 2, depois o 3, o 4, e assim por diante, ad infinitum. Veja:

Donde, por indução, tiramos a fórmula geral para o número n:

.

Pronto, você construiu todos os números naturais a partir da Teoria de Conjuntos. O mais legal é que ela é perfeitamente compatível com o os Axiomas de Peano, você vai chegar nos mesmos resultados.

Ainda não acabou!

Agora que nós já temos todos os números naturais à nossa disposição, que tal usá-los? O que fazemos com números? Somamos, multiplicamos, etc. Então, vou apresentar aqui como, em matemática, definimos a soma de dois números naturais, depois mostraremos algo bobo, só para ficar mais palpável.

Adição é a função [2], definida recursivamente como:

,
.

Pode parecer estranho, mas veja tente perceber que essa função coincide exatamente com o que a gente já sabe (informalmente)[3].

Então, vamos a uma aplicaçãozinha bem boba:

Mostre, pela definição, que .

Você perceberá que é só um exercício de escrita, nenhum raciocínio é envolvido aqui. Veja:



Pare um pouco aqui. Observe que a primeira parte da definição nos diz que . Então, . Continuando:

.

Ora, veja que logo mais acima, que nome demos ao sucessor de 1? Isso mesmo, o 2! Portanto, está provado, .

Seguindo o mesmo raciocínio, tente provar que . É bem simples e é um jeito interessante de formalizar aquilo que nós já tínhamos como intuição.

Até.

Notas:

[1]Originalmente, o número 0 não era tido como um número natural. Para um entendimento mais completo do número 0, clique aqui.
[2]Quando usamos essa notação: queremos dizer que o domínio dessa função é composto de pares ordenados de naturais.
[3]Informalmente, sabemos que o sucessor de um número n é n+1, então .