segunda-feira, 26 de janeiro de 2009

Uma prova para o Teorema de Pitágoras

Quem não conhece o Teorema de Pitágoras? Provavelmente é o teorema mais famoso do mundo, aprendemos ele no ensino fundamental, isso porque ele é útil, mas muito útil mesmo. Ele é tão útil que os babilônios já o conheciam cerca de mil anos antes (por volta de 1900-1600 antes de Cristo) de Pitágoras. De fato, o teorema só leva o nome de Pitágoras, pois sua escola foi a primeira a conseguir uma prova irrefutável para o teorema.


Muita gente conhece o Teorema de Pitágoras, mas o que pouca gente sabe é como prová-lo. Existem muitas formas (infinitas, aliás). A que vou apresentar aqui (do meu próprio jeito) é a que acredita-se ser a mais próxima da original.

Vamos lá!

Teorema: Dado um triângulo retângulo qualquer, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Em outras palavras, dado o triângulo retângulo ABC:


podemos afirmar que .

Prova: Primeiramente, pegue um segmento de reta e divida-o da seguinte forma.

Na verdade, tanto faz o nome da parte maior ou menor ser a ou b, isto é, você poderia nomear também, b e a (nessa ordem). Tudo bem, agora que você tem esse segmento, construa um quadrado cujos lados medem .


Observe que
e que . Trace o segmento e de o o nome para essa medida de c.Não é difícil notar que se traçarmos os segmentos , obteremos um quadrado de lado c.

A parte difícil acabou, agora basta calcularmos a área (S) do quadrado ABCD de duas maneiras diferentes:
  1. [*]
Pronto, agora é só igualarmos 1 e 2:

.

O que nos deixa com:

, como queríamos demonstrar.

Até.

Dica LeGauss

Se quiser conhecer 80 provas diferentes para o Teorema de Pitágoras, acesse http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml.

Notas:

[*] Essa área foi calculada da seguinte forma:
  • Primeiro somamos a área dos triângulos retângulos DBE, ECF, FDG e GAD. Como eles são congruentes, a área deles é a mesma, portando, multiplicamos por 4.
  • Depois, é só somar a área obtida no item anterior com a área do quadrado do meio (o quadrado de lado c).









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