domingo, 17 de janeiro de 2010

Uma demonstração algébrica para o Teorema Fundamental da Álgebra - Parte 1

O Teorema Fundamental da Álgebra é bastante conhecido e utilizado há muito tempo. Mas os matemáticos tiveram que esperar um jovem brilhante matemático alemão completar a sua tese de doutorado para observar a primeira demonstração inteiramente correta deste fato. Este matemático era ninguém menos que Carl Friedrich Gauss.

Até hoje, já foram encontradas diversas demonstrações diferentes para este importante teorema. Muitas delas são curtas e simples, mas envolvem uma certa dose de matemática superior. O que normalmente não nos é apresentado num curso de graduação em Matemática é uma demonstração puramente "algébrica" para tal fato. Isto é, uma demonstração que não necessite de outros conhecimentos além de álgebra básica (quando digo básica, não quero dizer álgebra do colégio).

O fato é que encontrei num livro de Teoria Algébrica dos Números, de Pierre Samuel, uma demonstração simples e algébrica para tal Teorema. Cabe ressaltar que o autor nos informa que esta demonstração foi feita primeiramente por Lagrange.

Neste artigo, não vou demonstrar o Teorema, isto fica para a Parte 2. O que vou fazer aqui é apresentar todos os requisitos necessários para compreender a demonstração da forma mais intuitiva que eu conseguir.

Além disso, vou assumir que você esteja familiarizado com um pouco de Álgebra do ensino superior. Isto é, conhecimentos básicos relativos a polinômios e corpos.

Antes de mais nada, seria bom enunciar o famoso Teorema:

Teorema Fundamental da Álgebra (versão 1)

Todo polinômio com coeficientes complexos possui pelo menos uma raíz complexa.

Existem diversas formas diferentes de enunciar o mesmo Teorema. Poderíamos , também, tê-lo enunciado da seguinte maneira

Teorema Fundamental da Álgebra (versão 2)

Todo polinômio com coeficientes complexos de grau n tem exatamente n raízes complexas, contando suas multiplicidades.

Se você não está muito convencido que os dois enunciados acima são equivalentes, deveria tentar mostrar isso. Não é difícil, basta notar que se um polinômio mônico tem uma raíz, digamos , então é divisível por .

De forma geral, quando um corpo satisfaz a condição acima, dizemos que ele é algebricamente fechado. Portanto, o Teorema afima, simplesmente, que é algebricamente fechado.

Então, vamos aos pré requisitos:

1. Todo polinômio real de grau ímpar possui uma raíz real.

Isto é simples de ser demonstrado e você pode fazê-lo utilizando o Teorema do Valor Intermediário.

2. Todo polinômio quadrático com coeficientes em , possui raíz em .

Considere o polinômio . Aplicando a "fórmula de Bhaskara", resta saber se a raíz quadrada de um número complexo ainda é um número complexo. Mas, observe que (com ) é equivalente a e . Segue que e . Sendo assim, é fácil achar números reais x e y que satisfazem esta equação.

3. Relações de Girard (em inglês: Vieta's Formula).

4. Polinômios Simétricos

Se você nunca ouviu falar em polinômios simétricos deveria dispensar um pouco do seu tempo para tentar entendê-los. Vou enunciar aqui o que precisamos saber sobre eles, mas você pode aprender mais em livros sobre Teoria de Galois e pela internet afora.

Definição: Um polinômio em n variáveis é dito simétrico se qualquer permutação de suas variáveis o mantém inalterado.

Exemplo:

Considere o polinômio



Podemos permutar os índices de suas variáveis e o polinômio não irá se alterar (apenas mudará a ordem delas). Por exemplo:



ou


Um polinômio simétrico menos óbvio é



Verifique que este polinômio é, de fato, simétrico.

Existem algumas espécies de polinômios simétricos que são os mais simples que existem. São chamados de polinômios simétricos elementares em n variáveis. São eles









Talvez você tenha notado que estas expressões simétricas são justamente as que aparecem nas relações de Girard. Vamos nos aprofundar um pouco mais nesta teoria. O primeiro fato importante sobre polinômios simétricos é, de certa forma, surpreendente.

Teorema: Todo polinômio simétrico em n variáveis pode ser obtido combinando os polinômios simétricos elementares.

A demonstração deste resultado não é simples, mas você pode dar uma olhada aqui. Aliás, produzi o meu segundo exemplo elevando ao quadrado o polinômio . Desta forma, eu tinha certeza que o polinômio obtido seria simétrico.

A partir do primeiro teorema podemos tirar uma conclusão muito útil que será utilizada em nossa demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra.

Seja um polinômio qualquer de grau n. Sejam suas raízes. Pelas relações de Girard, sabemos que as expressões simétricas elementares calculadas em são justamente os coeficientes de . Desta forma, mesmo que nós não saibamos em que corpo moram as raízes , sabemos que todas expressões simétricas elementares envolvendo estas raízes moram em .

Mas, pelo Teorema acima, toda expressão simétrica em n variáveis é feita a partir de uma combinação das expressões simétricas elementares. E isso nos dá o seguinte corolário:

Corolário: Nas notações acima, QUALQUER expressão simétrica em pertence a .

E isso é tudo que precisamos sobre polinômios simétricos. Se você acha que ainda não compreendeu muito bem, leia aqui e aqui. Ou procure um livro sobre Teoria de Galois. Mas tenha certeza que você entendeu a importância dos polinômios simétricos.

5. Seja um corpo. Dado um polinômio em , sempre existe uma extensão que contém todas as raízes de .

Na minha opinião, este é o requisito mais "complicado" de todos. Existe um forma bem intuitiva de compreendê-lo e uma outra forma "correta", muito mais formal. Vou explicar as duas.

Suponha que você tem o polinômio . Claramente, não tem raíz em . No entando, você pode construir o corpo (verifique que é um corpo!). Agora, é fácil ver que todas as raízes de estão em .

Outro exemplo, suponha agora . Nenhuma das raízes de está em , no entanto você pode construir o corpo da mesma forma que fizemos anteriormente e, agora, todas as raízes do nosso polinômio estão neste novo corpo.

Estes dois exemplos mostram uma técnica que os matemáticos descobriram e passaram a utilizar em grande escala. Sabemos que não é um número real, mas não é por isso que vamos parar de trabalhar com eles. O que fazemos é simplesmente "estender" nosso campo de atuação à um outro que contém este número estranho.

Intuitivamente, então, construímos o corpo "enfiando" as raízes no corpo menor anterior. Formalmente, construímos este novo corpo (chamado corpo de fatoração de um polinômio) da seguinte forma:

Seja um corpo e , iredutível em e mônico. Então, o corpo contém todas as raízes de .

A irredutibilidade de é apenas questão técnica para garantir que será um corpo.

De volta aos exemplos anteriores, o jeito formal de construir é tomando-se o polinômio minimal de em , que é e fazendo o quociente . Note que, neste quociente, símbolo é o "mesmo" que .

De forma equivalente, .


Compreendendo-se os requisitos mencionados acima, não será difícil compreender a demonstração que irei apresentar na Parte 2.

Até lá.




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