segunda-feira, 8 de fevereiro de 2010

Uma demonstração roubada: det(AB)=det(A).det(B)

Vi essa demonstração em um livro que se chama Linear Algebra Gems publicado pela MAA (que é muito bom aliás). Ele é uma coletânea de artigos sobre fatos interessantes da álgebra linear, digamos assim, e trata de vários assuntos legais que muitas vezes não são exibidos na graduação (e às vezes nem no mestrado/doutorado =P)
Bem ok, vamos precisar nessa demonstração das seguintes propriedades da determinante:

Requisitos

(i) Quando adicionamos a uma das linhas(colunas) de uma matriz dada, um múltiplo de outra linha(coluna), o determinante da matriz não se altera.
(ii) O determinante de uma matriz em blocos triangular é a multiplicação do determinante dos blocos na diagonal.

Agora sim vamos à demonstração.

Demonstração

Sejam e matrizes . Então:


Sendo que, obtemos a segunda matriz simplesmente somando vezes a segunda linha à primeira linha (falando em blocos), o que não altera o determinante pelo requisito (i).

Continuando...


Espero que tenham curtido!




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