domingo, 7 de fevereiro de 2010

Problemas LeGauss: Problema A1 - Putnam 2009

O seguinte problema foi proposto na Putnam em 2009:

Seja uma função tal que para todo quadrado no plano, tem-se . É verdade que para todo ponto do plano?

Minha solução difere um pouco da solução oficial que pode ser encontrada aqui. Vamos à ela:

Sim, é verdade. Considere um ponto qualquer no plano. Agora, posso escolher um outro ponto (que se situa na pontinha do vetor desenhado) de forma que o vetor que liga ele à faz 45º com o eixo horizontal e o eixo vertical que passam por .



Realizando reflexões nestes vetores, posso formar o quadrado , como na imagem que segue:



De forma completamente análoga, posso formar também os quadrados , e (a partir de agora vou omitir as setinhas dos vetores para não carregar a figura).



Pela hipótese do problema, segue que



Somando todas as equações e reordenando os termos, temos



Note que e são quadrados (o primeiro está em verde e o segundo em vermelho).



Logo,



Até.




4 comentários:

Gabriel Martins disse...

Questões geométricas são muito legais. =P
É bizarro como essa solução é simples, pensei um tempão e não cheguei nela.
Acontece nas melhores famílias. xD

Schneider disse...

Muuuito bom!

Prof. Paulo Sérgio disse...

Também gostei do seu blog. Tem qualidade, informação, além dos excelentes posts de Matemática.

Obs. Irei também adicionar o seu blog na lista de blogs interessantes.

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Matemátic@ do Pi disse...

Olá meu caro,
Very Good o seu blog!
Vou seguir seu blog e add indicá-lo entre os meus favoritos!!

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(MATEMÁTICA DO PI) http://jonasportal.blogspot.com