domingo, 28 de março de 2010

Uma demonstração elementar da igualdade entre posto-linha e posto-coluna de uma matriz

Seja uma matriz qualquer. Usualmente, interpretamos as linhas e as colunas de como vetores. O posto-linha de é definido como a dimensão do espaço linha de (isto é, o subespaço vetorial gerado pelas linhas de ). Analogamente, o posto-coluna de é definido como a dimensão do espaço coluna de . Em outras palavras, podemos definir posto-linha como sendo o número de linhas linearmente independentes de e o análogo para posto-coluna.

Teorema. Em qualquer matriz o posto-linha é igual ao posto-coluna.

Este é um teorema famoso e normalmente visto quando estuda-se sistemas lineares. Neste artigo vou apresentar uma demonstração bem simples deste teorema. Antes de mais nada, vamos convencionar que, dada uma matriz qualquer, é a -ésima coluna de e é a -ésima linha de . Para compreender a demonstração você deve saber que:

1. Multiplicar uma matriz por um vetor é o mesmo que realizar uma combinação linear das colunas de , onde os coeficientes são as entradas de . Desta forma, se é uma matriz em que o produto está definido, então a coluna de é uma combinação linear das colunas de onde os coeficientes são as entradas de .

2. De forma análoga ao item anterior, a -ésima linha do produto é uma combinação linear das linhas de onde os coeficientes são as entradas de .

Além disso, é claro, você precisa ter noções básicas de Álgebra Linear. Não cabe aqui explicar em pormenores os itens 1 e 2; se você não entendeu ou não está muito certo de algum deles, tente verificar alguns casos pequenos, por exemplo com matrizes ou . Alguns livros de Álgebra Linear também fornecem explicações para esta interpretação do produto de matrizes. Agora, vamos à demonstração.

Demonstração. Sejam o posto-linha de e o posto-coluna. Então existe um conjunto linearmente independente de colunas de que geram o espaço coluna de . Seja uma matriz com estas colunas. Para , a -ésima coluna de pode ser escrita como

,

onde é uma matriz . Assim e, para ,

.

Portanto cada linha de é uma combinação linear das linhas de e, desta forma, a dimensão do espaço linha de é menor ou igual ao número de linhas de , isto é, . Aplicando-se o mesmo argumento a , temos

.

Logo . Q.E.D.

Demonstração copiada descaradamente de: Linear Algebra Gems, página 169.




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