domingo, 11 de abril de 2010

Uma demonstração simples para um Lema de Gauss

Esta é a demonstração mais curta que eu conheço deste Lema de Gauss. Os requisitos necessários se resumem em apenas alguns conhecimentos básicos em Álgebra (de universidade).

Daqui em diante, tomarei a liberdade de denotar um polinômio por , quando for conveniente.

Lema [Gauss]. Se é irredutível em , então também o é em .


Demonstração. Faremos a demonstração pela contrapositiva. Suponha , com . Tome tal que , com (por exemplo, podemos tomar como o mmc de todos os denominadores de e ). Ficamos com

.

Seja um primo que divide . Em temos que . Como é um domínio (de integridade), então ou . Logo divide todos os coeficientes de ou . Sem perda de generalidade, suponha que divide todos os coeficientes de e que . Então

.

Realizando este mesmo processo até eliminar completamente o inteiro multiplicando , obteremos uma fatoração de em .

Até.

Observação: Este lema é pode ser enunciado de forma um pouco mais geral. Podemos substituir por qualquer domínio de fatoração única e pelo seu corpo de frações.




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