LeGauss: Uma demonstração simples para um Lema de Gauss

domingo, 11 de abril de 2010

Uma demonstração simples para um Lema de Gauss

Esta é a demonstração mais curta que eu conheço deste Lema de Gauss. Os requisitos necessários se resumem em apenas alguns conhecimentos básicos em Álgebra (de universidade).

Daqui em diante, tomarei a liberdade de denotar um polinômio $\inline f(X)$ por $\inline f$ , quando for conveniente.

Lema [Gauss]. Se $\inline q(X)\in \mathbb{Z}[X]$ é irredutível em $\inline \mathbb{Z}[X]$ , então também o é em $\inline \mathbb{Q}[X]$ .

Demonstração. Faremos a demonstração pela contrapositiva. Suponha $\inline q(X)=f(X)g(X)$ , com $\inline f,g\in \mathbb{Q}[X]$ . Tome $\inline n\in \mathbb{Z}$ tal que $\inline nf(X)g(X)=a(X)b(X)$ , com $\inline a,b\in \mathbb{Z}[X]$ (por exemplo, podemos tomar $\inline n$ como o mmc de todos os denominadores de $\inline f(X)$ e $\inline g(X)$ ). Ficamos com

$\inline nq(X)=a(X)b(X)\in \mathbb{Z}[X]$ .

Seja $\inline p$ um primo que divide $\inline n$ . Em $\inline (\mathbb{Z}/(p))[X]$ temos que $\inline \bar{a}(X)\bar{b}(X) = \bar{0}$ . Como $\inline (\mathbb{Z}/(p))[X]$ é um domínio (de integridade), então $\inline \bar{a}(X) = \bar{0}$ ou $\inline \bar{b}(X)=\bar{0}$ . Logo $\inline p$ divide todos os coeficientes de $\inline a(X)$ ou $\inline b(X)$ . Sem perda de generalidade, suponha que $\inline p$ divide todos os coeficientes de $\inline a(X)$ e que $\inline pa'(X)=a(X)$ . Então

$\inline \frac{n}{p}q(X)=a'(X)b(X)\in \mathbb{Z}[X]$ .

Realizando este mesmo processo até eliminar completamente o inteiro multiplicando $\inline q(X)$ , obteremos uma fatoração de $\inline q(X)$ em $\inline \mathbb{Z}[X]$ . $\inline Q.E.D.$

Até.

Observação: Este lema é pode ser enunciado de forma um pouco mais geral. Podemos substituir $\inline \mathbb{Z}$ por qualquer domínio de fatoração única e $\inline \mathbb{Q}$ pelo seu corpo de frações.

8 comentários:

Gabriel Martins disse...: Muito bom o post
Lema muito útil _o/
Gauss honrando a honra do nome do nosso blog huahuaha; 11 de abril de 2010 às 18:23
Gabriel Martins disse...: LeGauss
Le(ma de)Gauss
Desculpa não resisti; 11 de abril de 2010 às 19:25
Carolina Silva disse...: Este comentário foi removido pelo autor.; 11 de abril de 2010 às 22:15
Carolina Silva disse...: Olá. Sou um seguidor do LeGauss e tenho um blog de matemática. Gostaria de saber qual editor de fórmulas que utiliza. Um abraço!
http://obaricentrodamente.blogspot.com; 11 de abril de 2010 às 22:17
Gabriel Martins disse...: Nós inserimos no post as imagens geradas pelo codecogs usando o aplicativo equation editor

http://codecogs.com/components/equationeditor/equationeditor.php

Talvez você tenha que mexer no html do seu template para ajustar o alinhamento das imagens dê uma olhada nesse post para mais informações

http://legauss.blogspot.com/2010/04/problemas-de-imagens-com-o-designer-de.html; 12 de abril de 2010 às 13:09
Gabriel Martins disse...: Onde você viu essa demonstração? Foi no Pierre Samuel? Vi agora que no livro Field and Galois Theory do Milne ele demonstra exatamente assim o lema. =P

obs: Meu professor ia ficar triste com você. Onde já se viu polinômios a e b. HUAHUAHAHUA; 26 de junho de 2010 às 15:50
T disse...: Acho que foi no Milne mesmo.; 26 de junho de 2010 às 16:30
Unknown disse...: Acho que multiplicar pelo mmc dos denominadores de f(X) e g(X) não basta, pois você precisa destruir os denominadores de cada fator f(X) e g(X) simultaneamente. Por exemplo, se fosse f(X)g(X)=(X/5+2/7)(3X/5+4/7) deveríamos multiplicar por n=35^2. Uma solução é tomar n como o produto do mmc dos denominadores de f(X) pelo mmc dos denominadores de g(X). Aí sim, os denominadores de nf(X)g(X) serão destruídos.; 8 de fevereiro de 2021 às 09:50

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