segunda-feira, 17 de maio de 2010

Um problema divertido sobre convergência

Olá galerinha do LeGauss nesse post vou trazer um problema divertido que eu vi no livro Putnam and Beyond mas não sei se o problema é mesmo da Putnam. =P

Seja a sequência:



A pergunta é. Ela converge?

Bom, primeiro, note que ela é monótona crescente, e é "note" mesmo, isso é bem óbvio porque a função raiz é crescente.

Então o melhor caminho para resolvermos esse problema é achar uma limitação para essa sequência, pois sabemos que uma sequência monótona crescente, limitada superiormente, converge.

Se quiser tente um pouco, sempre é mais divertido ler o problema depois que você já tentou um pouco.

Agora note que:



E passando o limite:



E isso é uma ótima estimativa, veja que esse número tem cara de finito. Hehe
O que nos interessa é mostrar que aquela soma de 1's enraizados é finita mas note que aquele número respeita a equação:


(Basta perceber que se a gente eleva ele ao quadrado a gente obtém ele mesmo mais 1.)
Então temos que:

(Que é a raiz positiva daquele polinômio.)
E temos que nossa sequência é limitada, portanto, converge.

É isso, uma malandragem boa aí. hehe
Espero que tenham curtido.
Abraço.






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