Olá galerinha do LeGauss nesse post vou trazer um problema divertido que eu vi no livro Putnam and Beyond mas não sei se o problema é mesmo da Putnam. =P
Seja a sequência:
A pergunta é. Ela converge?
Seja a sequência:
A pergunta é. Ela converge?
Bom, primeiro, note que ela é monótona crescente, e é "note" mesmo, isso é bem óbvio porque a função raiz é crescente.
Então o melhor caminho para resolvermos esse problema é achar uma limitação para essa sequência, pois sabemos que uma sequência monótona crescente, limitada superiormente, converge.
Se quiser tente um pouco, sempre é mais divertido ler o problema depois que você já tentou um pouco.
Agora note que:
E passando o limite:
E isso é uma ótima estimativa, veja que esse número tem cara de finito. Hehe
O que nos interessa é mostrar que aquela soma de 1's enraizados é finita mas note que aquele número respeita a equação:
(Basta perceber que se a gente eleva ele ao quadrado a gente obtém ele mesmo mais 1.)
Então temos que:
(Que é a raiz positiva daquele polinômio.)
E temos que nossa sequência é limitada, portanto, converge.
É isso, uma malandragem boa aí. hehe
Espero que tenham curtido.
Abraço.
Então o melhor caminho para resolvermos esse problema é achar uma limitação para essa sequência, pois sabemos que uma sequência monótona crescente, limitada superiormente, converge.
Se quiser tente um pouco, sempre é mais divertido ler o problema depois que você já tentou um pouco.
Agora note que:
E passando o limite:
E isso é uma ótima estimativa, veja que esse número tem cara de finito. Hehe
O que nos interessa é mostrar que aquela soma de 1's enraizados é finita mas note que aquele número respeita a equação:
(Basta perceber que se a gente eleva ele ao quadrado a gente obtém ele mesmo mais 1.)
Então temos que:
(Que é a raiz positiva daquele polinômio.)
E temos que nossa sequência é limitada, portanto, converge.
É isso, uma malandragem boa aí. hehe
Espero que tenham curtido.
Abraço.
8 comentários:
que foda, gabriel!!!!! ahhahahaha
gostei tbm : )
Fiquei com preguiça de tentar fazer, mas tenho certeza que eu demoraria um bom tempo até ter a ideia de fatorar um \sqrt(2)...
"Note" que... Gabriel, seu AckerManíaco! :P
Ow, esse problema tem muito cara dos problemas do livro de Cálculo do spivak... hahaha
O número ''X'' só respeita aquela equação se sqrt( 1 + sqrt( 1 + ... + sqrt(1 + ...))) for um número real, ou seja, antes você deveria definir a sequência
{x_n}_0^{\infty} tal que
x_0 = 1, e
x_n = sqrt(1 + x_{n-1}), para todo n >= 1;
Depois disso mostrar que ela converge, daí sim usar esse símbolo sqrt( 1 + sqrt( 1 + ... + sqrt(1 + ...))), definir ele como sendo o limite da sequência, se não vc estará falando de algo que não foi definido.
É a mesma coisa que definir fatorial como sendo
1! = 1
n! = n(n-1)! para todo n >=2
Daí depois disso vc vem falar de 0!, mas nessa definição não há nada que diga o que é 0!.
Inicialmente achei que seu comentário falava sobre um detalhe técnico pouco construtivo, porque é acho meio fácil mostrar que essa sequencia que você falou é finita, mas depois achei um jeito de mostrar isso usando o teorema do ponto fixo de banach que pretendo postar em um futuro post.
Logo agradeço pela brecha.
Valeu =)
E desculpa pelo post chato, corretor.
Afinal, esqueci de dizer, seu blog é muito bacana xD
Uma solução rapidíssima é dizer que x= Raiz(1+x)
Por que como a série é infinita de ações iguais tirar um termo não fará diferença e cairá na equação citada x²-x-1=0.
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