sexta-feira, 4 de junho de 2010

Ulam-Borsuk em dimensão 1

Olá galerinha do LeGauss!

Hoje vou demonstrar um "mini teorema" que (eu acho) bonito e é bem simples, o único requisito praticamente é o teorema do valor intermediário (ou melhor, uma versão um pouquinho mais abstrata dele, afinal quando falamos do TVI falamos de funções contínuas ).

O motivo de chamá-lo de "mini teorema" é que na verdade é uma versão 1-dimensional do famoso teorema de Ulam-Borsuk.

Aliás parece que foi uma dupla de Uruk-hais de Isengard que provou esse teorema. Huahuahua Sempre que falo o nome desse teorema penso em Senhor dos Anéis.

O enunciado é o seguinte:

Seja uma função contínua, então , tal que


obs: O inverso aditivo de é pensado como o inverso aditivo dele em , i.e. e são pontos antipodais de .

Vamos a demonstração.

Acho que a forma mais honesta de provar esse resultado é olhando os dois espaços como espaços métricos [1] e usar que funções contínuas preservam sua conexidade [2]. Isso é basicamente usar o teorema do valor intermediário, mas só falar "pelo teorema do valor intermediário" é jogar uma sujeirinha para baixo do tapete. [3]

Vamos olhar para a função , ela é, também, uma função contínua (pois a soma de funções contínuas é contínua e também o é sua composição).

Então seja um ponto qualquer de .

Se então não precisamos fazer nada, senão, podemos supor sem perda de generalidade que .

Temos portanto que e . Como é contínua e é conexo temos que tal que .

Mas .

E esse é o teorema.
Espero que tenham curtido.

No caso do teorema de Ulam-Borsuk, costuma-se dar um exemplo legal, que diz que a qualquer momento sempre existem dois pontos antipodais na terra com a mesma temperatura e mesma pressão atmosférica.

Bizarro não? xD

Notas:

[1] Por serem métricos são também topológicos.
[2] Eu não vou demonstrar esse resultado, quem sabe outro dia, mas acredite. É bem "intuitivo" pensando que conexidade é uma propriedade topológica do espaço e logo é preservada por homeomorfismos.
[3] Coisa que eu fiz também, já que não demonstrei que funções contínuas preservam conexidade. xD





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