Olá galerinha do LeGauss!
Hoje vou demonstrar um "mini teorema" que (eu acho) bonito e é bem simples, o único requisito praticamente é o teorema do valor intermediário (ou melhor, uma versão um pouquinho mais abstrata dele, afinal quando falamos do TVI falamos de funções contínuas
).
O motivo de chamá-lo de "mini teorema" é que na verdade é uma versão 1-dimensional do famoso teorema de Ulam-Borsuk.
Aliás parece que foi uma dupla de Uruk-hais de Isengard que provou esse teorema. Huahuahua Sempre que falo o nome desse teorema penso em Senhor dos Anéis.
O enunciado é o seguinte:
Hoje vou demonstrar um "mini teorema" que (eu acho) bonito e é bem simples, o único requisito praticamente é o teorema do valor intermediário (ou melhor, uma versão um pouquinho mais abstrata dele, afinal quando falamos do TVI falamos de funções contínuas
).O motivo de chamá-lo de "mini teorema" é que na verdade é uma versão 1-dimensional do famoso teorema de Ulam-Borsuk.
Aliás parece que foi uma dupla de Uruk-hais de Isengard que provou esse teorema. Huahuahua Sempre que falo o nome desse teorema penso em Senhor dos Anéis.
O enunciado é o seguinte:
Sejauma função contínua, então
, tal que
obs: O inverso aditivo de 
é pensado como o inverso aditivo dele em 
, i.e. e 
são pontos antipodais de 
.
Vamos a demonstração.
Acho que a forma mais honesta de provar esse resultado é olhando os dois espaços como espaços métricos [1] e usar que funções contínuas preservam sua conexidade [2]. Isso é basicamente usar o teorema do valor intermediário, mas só falar "pelo teorema do valor intermediário" é jogar uma sujeirinha para baixo do tapete. [3]
Vamos olhar para a função
, ela é, também, uma função contínua (pois a soma de funções contínuas é contínua e também o é sua composição).
Então seja
um ponto qualquer de .
Se
então não precisamos fazer nada, senão, podemos supor sem perda de generalidade que 
.
Temos portanto que
e 
. Como 
é contínua e é conexo temos que 
tal que 
.
Mas
.
E esse é o teorema.
Espero que tenham curtido.
No caso
do teorema de Ulam-Borsuk, costuma-se dar um exemplo legal, que diz que a qualquer momento sempre existem dois pontos antipodais na terra com a mesma temperatura e mesma pressão atmosférica.
Bizarro não? xD
Notas:
[1] Por serem métricos são também topológicos.
[2] Eu não vou demonstrar esse resultado, quem sabe outro dia, mas acredite. É bem "intuitivo" pensando que conexidade é uma propriedade topológica do espaço e logo é preservada por homeomorfismos.
[3] Coisa que eu fiz também, já que não demonstrei que funções contínuas preservam conexidade. xD
é pensado como o inverso aditivo dele em , i.e. e são pontos antipodais de .Vamos a demonstração.
Acho que a forma mais honesta de provar esse resultado é olhando os dois espaços como espaços métricos [1] e usar que funções contínuas preservam sua conexidade [2]. Isso é basicamente usar o teorema do valor intermediário, mas só falar "pelo teorema do valor intermediário" é jogar uma sujeirinha para baixo do tapete. [3]
Vamos olhar para a função
, ela é, também, uma função contínua (pois a soma de funções contínuas é contínua e também o é sua composição).Então seja
um ponto qualquer de .Se
então não precisamos fazer nada, senão, podemos supor sem perda de generalidade que .Temos portanto que
e . Como é contínua e é conexo temos que tal que .Mas
.E esse é o teorema.
Espero que tenham curtido.
No caso
do teorema de Ulam-Borsuk, costuma-se dar um exemplo legal, que diz que a qualquer momento sempre existem dois pontos antipodais na terra com a mesma temperatura e mesma pressão atmosférica.Bizarro não? xD
Notas:
[1] Por serem métricos são também topológicos.
[2] Eu não vou demonstrar esse resultado, quem sabe outro dia, mas acredite. É bem "intuitivo" pensando que conexidade é uma propriedade topológica do espaço e logo é preservada por homeomorfismos.
[3] Coisa que eu fiz também, já que não demonstrei que funções contínuas preservam conexidade. xD
5 comentários:
Hum ... conheco esse teorema . hehe
Fiz uma IC com a Denise sobre esse teorema (Borsuk-Ulam geral).
Voce eh aluno da Denise ?
Não sou aluno da Denise, na verdade nem a conheço. =P
Eu estudo na UFRJ
Legal, mas vc não deveria estudar matemática vinda de Isengard.
HUm . hehe .. pensei que esse blog fosse soh de alunos do icmc - usp
ok ..
Depois de uma olhada nos links abaixo
http://gdpais.blogspot.com/2009/04/um-pouco-mais-do-teorema-de-borsuk-ulam.html
http://gdpais.blogspot.com/2009/01/o-mapa-do-tempo.html
Abrcs
Legais os links _o/
E não, tem eu da UFRJ aqui no LeGauss.
Nosso blog ultrapassa fronteiras estaduais.
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