sábado, 13 de novembro de 2010

O teorema de Cantor

Olá galerinha do LeGauss.

Vou provar nesse post um teorema importante cuja prova consiste somente de um argumento muito inteligente e simples de entender. Vamos lá.

Teorema de Cantor

Seja  um conjunto, então:


Obs: Seja um conjunto qualquer denotamos por o conjunto cujos elementos são todos subconjuntos de , além disso denotamos por a cardinalidade do conjunto , uma generalização do conceito de "quantidade de elementos" no conjunto.

Demonstração

Se não há nada a se fazer, pois nesse caso e já que é o conjunto unitário cujo único elemento é o vazio.
Assuma portanto e seja uma função. Vou provar que ela não é sobrejetiva (o que por definição resultará no nosso teorema)[1].

Para cada , é um subconjunto de . Seja o subconjunto de X definido por



Então não pertence à imagem de . Pois suponha por absurdo que exista tal que temos que


Que é uma contradição.

Legal não? xD

Até a próxima.

Notas:

[1] Lembre-se que:

existe sobrejeção de em .

existe injeção de em .

existe bijeção entre e .

e não existe bijeção entre eles.

e não existe bijeção entre eles.

Como existe uma sobrejeção óbvia de para basta mostrar que não existe sobrejeção de para o que implicará em particular que não existirá bijeção entre eles.





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