Enquanto meu outro post não sai, aqui vai uma demonstração bonitinha e fácil. Tudo o que vamos usar são alguns resultados elementares de séries infinitas.
Teorema. 
é irracional.
é irracional.Demonstração. Por definição
Suponha, por absurdo, que é racional. Então podemos escrever 
, com 
e 
inteiros e primos entre si. Então
onde
Multiplicando por 
, temos
Pela expressão acima (a segunda igualdade),
é um número inteiro. Mas
Utilizando a fórmula da soma de uma P.G. infinita, temos
Ora, mas é inteiro e está entre 0 e 1 (estritamente), contradição. 
é racional. Então podemos escrever , com e inteiros e primos entre si. Então
onde
Multiplicando
por , temos
Pela expressão acima (a segunda igualdade),
é um número inteiro. Mas
Utilizando a fórmula da soma de uma P.G. infinita, temos
Ora, mas
é inteiro e está entre 0 e 1 (estritamente), contradição.
11 comentários:
Bonitinho xD
Primeiro erro:
é a(b-1)! = b! + 3x4x5...xb + 4x5x6...xb + ...
e não como está escrito.
Segundo erro:
é rxb! e não bxr!
terceiro Erro:
Não há proposição dizendo que rxb! é inteiro e sim que b é inteiro e é óbvio que b!xr não e inteiro pois se b é inteiro o inverso de sua soma com n (n pertence aos inteiros) não o será que, nesse caso a rxb! é 1/(b+1) + 1/(b+1)(b+2) + ... que não é inteiro.
Portanto essa demonstração é falsa
Tem muitos erros meio typos no post mesmo mas a demonstração não está errada (eu não conferi as contas vou deixar isso pro Tiago mas o que você disse não está correto)
Pela suposição de que e é racional temos que multiplicando ele por b! obtemos a expressão e.b!=a(b-1)! manipulando a expressão obtemos que r.b! é sim inteiro mas o resto da demonstração prova que isso é absurdo. Vou falar com o Tiago pra corrigir os typos
Olá Ramon, obrigado pelo comentário, estava cheio de erros mesmo. O problema foi um typo no começo que foi carregando até o final. Agora eu arrumei a prova. Como o Gabriel disse, a estrutura da prova é a mesma: a contradição aparece justamente pelo fato de, se supormos que e é racional, teríamos que aquele resto r é inteiro.
Avise-me se tiver outro erro. Obrigado.
Oi, Tiago.
Poderia dar uma conferida na equação abaixo da frase "Multiplicando e por b!, temos "?
Além disso, eu não consegui enxergar o porquê de rb! ter de ser inteiro...
Pois é Thiago, não o porquê r.b! ser inteiro.
Na verdade, até b!/b! será inteiro e positivo depois disso e óbvio que não será inteiro, pois b!/(b+1)! = 1/b+1 como b é inteiro então 1/b+1 não o será (como foi dito no meu primeiro post) e analogamente aconterá com os termos posteriores.
Peço desculpas pelo que foi dito por mim.
Na quarta expressão Como e.(b-1)! é inteiro e a soma de b! até b!/b! é inteiro então a diferença que é r.b! também será inteiro.
Fiquei apaixonado por essa prova.
Desculpe a ignorância.
Desculpe, ainda não consegui chegar lá: "e" é racional (por hipotese) e "b" é inteiro. Por que mesmo e (b-1)! é inteiro?
O e.b! é inteiro porque por hipótese e=a/b onde a e b são inteiros logo e.b!=a.(b-1)! que é obviamente inteiro =P
É dificil falar de matematica pela internet huahuaha
Ok, compreendido. Como o Gabriel comentou, "bonitinho" mesmo
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