quarta-feira, 15 de dezembro de 2010

Um problema de geometria e sua solução com números complexos

Neste post vou dar um pequeno exemplo de como utilizar números complexos para resolver problemas de Geometria Euclidiana. Afinal, quando o problema fica complexo demais, por que não utilizar números complexos?

Piadas ruins a parte, aqui vai o problema.

Problema

Dado um quadrilátero , construa, sobre cada lado de , um quadrado tendo como um dos lados o lado do quadrilátero tomado (olhando na figura fica mais fácil de entender). Sejam e os pontos médios dos quadrados correspondentes aos lados , , e . Mostre que os segmentos e são ortogonais e têm o mesmo comprimento.






Uma breve revisão

Sabemos que os números complexos podem ser representados por pontos num plano, onde corresponde a um vetor com coordenadas . A soma definida em coincide com a soma de vetores em e, portanto, utilizar números complexos para representar e somar vetores é algo bem natural. No entanto, a maior vantagem em se utilizar números complexos, no lugar e vetores é a multiplicação, não a soma!

Apesar de parecer não fazer muito sentido quando expresso em coordenadas, cartesianas isto é, , neste produto está implícito uma transformação muito importante e útil. Para entender isto, é mais fácil visualisar em coordenadas polares:


Se temos , a multiplicação é nada mais que


Em outras palavras, multiplicar por consiste em rodar de graus em torno da origem e esticar seu comprimento por um fator .

Por exemplo, se temos um ponto e queremos girar ele de um ângulo de , basta multiplicar por :


Feitas estas breves considerações, vamos à resolução do problema.

Solução

No que segue, vamos interpretar os pontos da figura como sendo números complexos, ou seja, pontos no plano complexo. Para isso, suponha que a figura acima está no plano complexo, com a origem coincidindo com o vértice do quadrilátero , i.e., . Defina como sendo os números complexos dados , , e , respectivamente (isto é, são os números que representam os lados do quadrilátero).

Temos, então,


Observe que o ponto pode ser obtido da seguinte maneira: percorremos o lado até a metade, giramos 90 graus e andamos mais a metade do comprimento de . Em termos de operações com números complexos, isto é nada mais que


De maneira análoga, temos


Pondo e , queremos mostrar que e são ortogonais e tem o mesmo tamanho, ou seja, . Para isto, é suficiente mostrar que . Ou seja, basta mostrar que


Agora é só conta!


Logo



Como queríamos roubar... digo, demonstrar.
Até!




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