Neste post vou dar um pequeno exemplo de como utilizar números complexos para resolver problemas de Geometria Euclidiana. Afinal, quando o problema fica complexo demais, por que não utilizar números complexos?
Piadas ruins a parte, aqui vai o problema.
Problema
Dado um quadrilátero
, construa, sobre cada lado de , um quadrado tendo como um dos lados o lado do quadrilátero tomado (olhando na figura fica mais fácil de entender). Sejam 
e 
os pontos médios dos quadrados correspondentes aos lados 
, 
, 
e 
. Mostre que os segmentos 
e 
são ortogonais e têm o mesmo comprimento.
Uma breve revisão
Sabemos que os números complexos podem ser representados por pontos num plano, onde
corresponde a um vetor com coordenadas 
. A soma definida em 
coincide com a soma de vetores em 
e, portanto, utilizar números complexos para representar e somar vetores é algo bem natural. No entanto, a maior vantagem em se utilizar números complexos, no lugar e vetores é a multiplicação, não a soma!
Apesar de parecer não fazer muito sentido quando expresso em coordenadas, cartesianas isto é,
, neste produto está implícito uma transformação muito importante e útil. Para entender isto, é mais fácil visualisar em coordenadas polares:
Se temos
, a multiplicação 
é nada mais que
Em outras palavras, multiplicar
por 
consiste em rodar de 
graus em torno da origem e esticar seu comprimento por um fator 
.
Por exemplo, se temos um ponto
e queremos girar ele de um ângulo de 
, basta multiplicar por 
:
Feitas estas breves considerações, vamos à resolução do problema.
Solução
No que segue, vamos interpretar os pontos da figura como sendo números complexos, ou seja, pontos no plano complexo. Para isso, suponha que a figura acima está no plano complexo, com a origem coincidindo com o vértice
do quadrilátero , i.e., 
. Defina 
como sendo os números complexos dados 
, 
, 
e 
, respectivamente (isto é, são os números que representam os lados do quadrilátero).
Temos, então,
Observe que o ponto
pode ser obtido da seguinte maneira: percorremos o lado até a metade, giramos 90 graus e andamos mais a metade do comprimento de . Em termos de operações com números complexos, isto é nada mais que
De maneira análoga, temos
Pondo
e 
, queremos mostrar que 
e 
são ortogonais e tem o mesmo tamanho, ou seja, 
. Para isto, é suficiente mostrar que 
. Ou seja, basta mostrar que
Agora é só conta!
Logo
Piadas ruins a parte, aqui vai o problema.
Problema
Dado um quadrilátero
, construa, sobre cada lado de , um quadrado tendo como um dos lados o lado do quadrilátero tomado (olhando na figura fica mais fácil de entender). Sejam e os pontos médios dos quadrados correspondentes aos lados , , e . Mostre que os segmentos e são ortogonais e têm o mesmo comprimento.
Uma breve revisão
Sabemos que os números complexos podem ser representados por pontos num plano, onde
corresponde a um vetor com coordenadas . A soma definida em coincide com a soma de vetores em e, portanto, utilizar números complexos para representar e somar vetores é algo bem natural. No entanto, a maior vantagem em se utilizar números complexos, no lugar e vetores é a multiplicação, não a soma!Apesar de parecer não fazer muito sentido quando expresso em coordenadas, cartesianas isto é,
, neste produto está implícito uma transformação muito importante e útil. Para entender isto, é mais fácil visualisar em coordenadas polares:Se temos
, a multiplicação é nada mais queEm outras palavras, multiplicar
por consiste em rodar de graus em torno da origem e esticar seu comprimento por um fator .Por exemplo, se temos um ponto
e queremos girar ele de um ângulo de , basta multiplicar por :Feitas estas breves considerações, vamos à resolução do problema.
Solução
No que segue, vamos interpretar os pontos da figura como sendo números complexos, ou seja, pontos no plano complexo. Para isso, suponha que a figura acima está no plano complexo, com a origem coincidindo com o vértice
do quadrilátero , i.e., . Defina como sendo os números complexos dados , , e , respectivamente (isto é, são os números que representam os lados do quadrilátero).
Observe que o ponto
pode ser obtido da seguinte maneira: percorremos o lado até a metade, giramos 90 graus e andamos mais a metade do comprimento de . Em termos de operações com números complexos, isto é nada mais queDe maneira análoga, temos
Pondo
e , queremos mostrar que e são ortogonais e tem o mesmo tamanho, ou seja, . Para isto, é suficiente mostrar que . Ou seja, basta mostrar queAgora é só conta!
Logo
Como queríamos roubar... digo, demonstrar.
Até!
5 comentários:
Muito criativa essa prova =P
Mas de fato a estrutura complexa da várias propriedades geométricas mega interessantes, depois dizem na escolha que não da pra multiplicar vetores af.. xD
Excelente post!
Essa teorema já é lindo, mas com essa demonstração fica na lista dos meus favoritos, rs
Acabei me inspirando e postei uma solução geométrica no meu blog, depois dá uma olhada: dadosdedeus.blogspot.com
Tome muito cuidado com a "multiplicação de dois vetores". Como sabemos o conjunto dos números complexos formam um corpo, e portanto, as operações de adição e multiplicação estão bem definidas.Em contra partida, no conjuntos de vetores as operações definidas são a adição e a multiplicação por escalar.
Números complexos não deixam de ser vetores. A multiplicação entre números complexos é uma multiplicação de vetores por definição.
Aliás vários tipos de vetores podem ser multiplicados, tipo matrizes ou os quatérnions.
Mais em geral, quando conseguimos definir uma multiplicação entre elementos de um espaço vetorial E sobre um corpo k, que tem uma certa propriedade de compatilibilidade com os escalares, dizemos que esse espaço tem uma estrutura de uma k-álgebra
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebra_over_a_field
Muito boa sua solução. Eu estava tentando de uma outra maneira mas tava me dando muito trabalho. Estou concluindo minha tese de mestrado e gostaria de colocar o problema com essa solução ok!? Mas claro q o blog estará em minhas referencias.
Vallew!
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