sábado, 26 de março de 2011

O Teorema de Recorrência de Poincaré

E aí galerinha do LeGauss.

Hoje vou provar um teorema que é bem fácil de se provar e é extremamente interessante. para entender a demonstração você precisará conhecer simplesmente as definições básicas de teoria da medida, como o que é uma álgebra, um espaço mensurável e uma função mensurável.

Vamos lá.

Teorema: Seja um espaço de medida finita e seja uma função que preserva a medida, isso é, é mensurável e para todo , temos que , então para todo o conjunto


Tem medida nula.

Ou seja o teorema diz que quase todo ponto de retorna infinitas vezes via para .

Demonstração:

Primeiro note que . Denotando , note que se , então , mais que isso temos que , logo pela invariância de pela medida.

Além disso note que , com isso conseguimos que




(Note que agora usamos fortemente o fato de ter medida finita, senão poderíamos estar subtraindo infinitos o que não faria sentido.)

Logo e então



Como queríamos.

Esse teorema é bem legal, ele é um indício de que transformações que preservam alguma medida tem uma dinâmica mais interessante (uma dinâmica sem recorrência não tem muita graça já que as coisas só se espalham) e acho que esse teorema por ser muito velho, hehe, foi uma das motivações para se desenvolver teoria ergódica, pelo menos foi o que eu li por aí. =P

Mesmo assim o teorema é legal por si só, espero que tenham curtido.

Abraço





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