E aí galerinha do LeGauss.
Hoje vou provar um teorema que é bem fácil de se provar e é extremamente interessante. para entender a demonstração você precisará conhecer simplesmente as definições básicas de teoria da medida, como o que é uma
álgebra, um espaço mensurável e uma função mensurável.
Vamos lá.
Teorema: Seja
um espaço de medida finita e seja 
uma função que preserva a medida, isso é, 
é mensurável e para todo 
, temos que 
, então para todo o conjunto
Tem medida nula.
Ou seja o teorema diz que quase todo ponto de
retorna infinitas vezes via para .
Demonstração:
Primeiro note que
. Denotando 
, note que se 
, então 
, mais que isso temos que 
, logo 
pela invariância de pela medida.
Além disso note que
, com isso conseguimos que
(Note que agora usamos fortemente o fato de
ter medida finita, senão poderíamos estar subtraindo infinitos o que não faria sentido.)
Logo
e então
Como queríamos.
Esse teorema é bem legal, ele é um indício de que transformações que preservam alguma medida tem uma dinâmica mais interessante (uma dinâmica sem recorrência não tem muita graça já que as coisas só se espalham) e acho que esse teorema por ser muito velho, hehe, foi uma das motivações para se desenvolver teoria ergódica, pelo menos foi o que eu li por aí. =P
Mesmo assim o teorema é legal por si só, espero que tenham curtido.
Abraço
Hoje vou provar um teorema que é bem fácil de se provar e é extremamente interessante. para entender a demonstração você precisará conhecer simplesmente as definições básicas de teoria da medida, como o que é uma
álgebra, um espaço mensurável e uma função mensurável.Vamos lá.
Teorema: Seja
um espaço de medida finita e seja uma função que preserva a medida, isso é, é mensurável e para todo , temos que , então para todo o conjuntoTem medida nula.
Ou seja o teorema diz que quase todo ponto de
retorna infinitas vezes via para .Demonstração:
Primeiro note que
. Denotando , note que se , então , mais que isso temos que , logo pela invariância de pela medida.Além disso note que
, com isso conseguimos que(Note que agora usamos fortemente o fato de
ter medida finita, senão poderíamos estar subtraindo infinitos o que não faria sentido.)Logo
e entãoComo queríamos.
Esse teorema é bem legal, ele é um indício de que transformações que preservam alguma medida tem uma dinâmica mais interessante (uma dinâmica sem recorrência não tem muita graça já que as coisas só se espalham) e acho que esse teorema por ser muito velho, hehe, foi uma das motivações para se desenvolver teoria ergódica, pelo menos foi o que eu li por aí. =P
Mesmo assim o teorema é legal por si só, espero que tenham curtido.
Abraço
6 comentários:
Gabriel, legal trazer esses assunto pra cá. Acrescentando ao seu comentário sobre o surgimento da teoria ergódica, tenho a impressão de que um outro forte motivo para sua origem foi a necessidade de resolver alguns problemas na área que chamam de "física estatística", um ramo da física que trabalha com probabilidade -- não estatística. Um exemplo disso é o "teorema da média ergódica" (de von Neumann, um cientista de quem sou muito fã).
LeGauss seu blog, Gabriel :)
Eh...a Teo. Ergodica surgiu na tentativa de justificar a hipotese ergodica, que foi formulada por Maxwell, pela primeira vez, em 1850/1860 e usada/generalizada por Boltzmann nos 10, 20 anos seguintes. Uma das perguntas era que tipo de sistema descrito por um Hamiltoniano preserva medidas de Liouville, que são a boa para a fisica por um milhao de motivos, alem disso tem todo um blablabla de independencia estatistica das probabilidades associadas as particulas do seu sistema...
Enfim, tem muita coisa pra se ler sobre isso
Tem um livro bem legal, que apesar de curto eh bizarro, que eh o Mathematical Foundations of Statistical Mechanics do Khinchin
O fato eh que essa hipotese eh falsa em geral e ela foi usada para justificar determinadas coisas de teoria cinetica de gases. Entao deve-se tomar muito cuidado com ela. Como caras tipo Poincare, Zermelo e Loschmidt criticaram brutalmente o trabalho do Bolztmann, visto que essa hipotese era uma das coisas que fazia com que conseguissemos sair de um sistema reversivel para um irreversivel, o cara acabou se matando em 1906...
Ai os primeiros grandes resultados parciais da teoria, de saber quando certas medias espaciais sao iguais a certas medias temporais foi dado por Von Neumann e Birkhoff. Vale a pena tambem olhar os trabalhos do Eberhard Hopf(que nao eh o Heinz Hopf) que foi um dos primeiros caras a conseguir exemplos de sistemas hamiltonianos ergodicos. E dai basicamente começou a area de sistemas dinamicos/teoria ergodica.
Pena que o povo de dinamica, em geral, ignore esse tipo de coisa e não saiba de forma precisa de onde vem o que eles estudam...
Tem uma referencia rapida do Birkhoff:
http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1076207/pdf/pnas01731-0069.pdf
abraço!
Essa discussão em redor da reversibilidade de sistemas microscópicos me lembrou um tema interessante e sobre o qual talvez eu escreva um post: o círculo de Kac. É um exemplo de sistema que apresenta reversibilidade mas que, no "limite termodinâmico" (grosso modo, número de constituintes diverge, volume diverge, mas a densidade N/V não diverge), NÃO apresenta reversibilidade.
nao sei oque segnifica E,An,etc.so sei q quando eu aprender vou me empressionar muito com a concordancia subronal desse teorema logico!
como q vc ia saber a logica de resolver o teorema se nem eu q ja me formei matematica nao consegui resolver ele.certo q vc so esta explicando como se resolve e as unidades basicas,mas nao tem logica.descordo desse otario q postou q isso era logica.
eu tenho 11 anos,sou um nerd racker e eu ja estudei ate o teorema do poincaré e isso ai nem chega aos pes dele.
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