Isometrias do plano

Oi galerinha.

Hoje vou postar um teorema legal de análise, que na verdade é um caso particular de um teorema mais geral em , mas que em   usando um pouquinho de análise complexa (bem pouco) podemos provar o teorema de um jeito bem legal.

Vamos lá!

Primeiro precisaremos de algumas definições

Def. Um difeomorfismo  é uma isometria (ou mais precisamente uma isometria Riemanniana) se satisfaz

Note que uma isometria preserva por exemplo o comprimento de caminhos , em particular preserva distâncias. O teorema que provaremos é o seguinte:

Teorema. Seja  uma isometria, então existem  e  tais que




Onde  é grupo de matrizes ortogonais, ou seja .

Em particular descobrimos que o grupo de isometrias de  é o produto semidireto . (Como conjunto isso é apenas a diferença é a operação no grupo).

Poderíamos definir uma isometria apenas como uma função que preserva distâncias e de fato em uma variedade Riemanniana  as duas definições são equivalentes (esse é o teorema de Myers-Steenrod). Em um post futuro pretendo provar que aplicações que preservam distâncias em  também são composições de translações e rotações, o que prova a equivalência das duas definições de isometria em , por exemplo.

Temos um conceito um pouco mais fraco que o de uma isometria, que é o de uma aplicação conforme.

Def. Uma função ,  é dita conforme se existe uma função, tal que

Toda aplicação conforme satisfaz as equações de Cauchy-Riemann


Onde .
Portanto graças à análise complexa sabemos que uma função , conforme pode ser vista como uma função holomorfa (derivável em ) . Vamos à prova do teorema então.

Demonstração. Vou identificar  com  em vários momentos durante a prova, onde a indentificação é dada por



O mais importante a se manter em mente é  que se  e  são números complexos então




Dessa forma obtemos por exemplo que como é holomorfa, já que é isometria e em particular conforme




Onde usamos a equação de Cauchy-Riemann e na última igualdade estamos falando da multiplicação entre número complexos de  e . Com essa identidade é fácil notar que a derivada complexa de  é apenas . Vamos mostrar que a segunda derivada de  é zero e descobrir que portanto essa aplicação é afim, ou seja  e de fato saberemos que




Como  preserva o produto interno,  e isso terminará o teorema. Para isso note que




Usando a equação de Cauchy-Riemann para , sabemos que denotando 




Já que é uma isometria, portanto derivando em y




Similarmente sabemos que  e derivando isso em x descobrimos que . Como  são ortonormais descobrimos que  e portanto . O que termina o teorema.