Uma charada antiga e um problema de combinatória

A charada

Existe um problema em forma de charada, que já deve ser bem antigo, mais conhecido como "o problema da filha mais velha que toca piano". Resolvê-lo é relativamente simples. Como não sei qual é a versão original do problema, e na internet encontrei muitas variações, vou fazer a minha própria versão. Desculpem a falta de objetividade. ;-)

Há muito tempo atrás, numa galáxia muito, muito distante, Mestre Yoda sente fome. Decidido a comer um belo sanduíche de mortadela, resolve fazer uma caminhada até a padaria mais próxima para comprar os ingredientes. Chegando lá, na soleira da entrada, Yoda se depara com um antigo díscipulo seu, que agora já havia se tornado um Jedi de respeito (com capuz e tudo). Os dois começam a conversar até que o Jedi diz que estava casado e já tinha 3 filhos. Surpreso, Mestre Yoda pergunta a idade deles. O Jedi, então, resolve testar as faculdades mentais de seu mestre e diz:

- O produto das idades é 36.

Yoda pensa um pouco, mas logo diz que precisa de mais alguma informação. O Jedi então, olha à sua volta e vê, do outro lado da rua, uma casa azul, e diz:

- A soma das idades dá o número daquela casa azul ali.

Yoda reflete mais um pouco e diz:

- Mais uma informação preciso eu.

O Jedi, já sem saber bem o que dizer, acaba soltando:

- O mais velho tem um sabre de luz!

Então, Yoda sorri e diz:

- A resposta tenho eu já!

Pois então, qual é a resposta? Antes de ver a solução, tente fazer um pouco. Para ver a solução, clique aqui.

Charada strikes back: O problema de combinatória

Quando estava tentando resolver a charada pela primeira vez, queria ter certeza de que as oito possibilidades de combinar as idades eram todas as possíveis. Tentei em vão achar um jeito matematicamente correto de se chegar em tal resultado. Então, formulei o seguinte problema:

Dado um número n, quantas soluções possíveis existem tal que o produto de 3 números naturais é igual a n.

Na verdade, a grande dificuldade desse problema se encontra nas permutações. Por exemplo, assumimos que é a mesma solução que que é a mesma que , etc. Se e fossem sempre todos distintos, o problema ficaria mais fácil. Mas o número de simetrias difere para cada solução. Por exemplo, pode ser uma solução, mas tem menos simetrias que no primeiro exemplo.

O resultado que mostrarei aqui, então, considera as permutações como soluções diferentes. Para vê-lo baixe o pdf aqui. Está em duas páginas.

Resumo da Ópera

O resumo da ópera é que eu ainda não consegui resolver meu probleminha. Se alguém tiver uma dica, eu agradeço.

Até.